Question

Sejam as funções reais f e g definidas por f(x)=-5ax2+3bx e g(x)=ax4+2b+1 ambas diferenciáveis em todo o seu domínio.calcule o valor das constantes a e b de modo que f`(1)=g`(1) e f`(2)=10

Answer 1

Temos que,

$f'(x) = - 10ax + 3b$

$g'(x) = 4a {x}^{3}$

Onde,

$f'(1) = - 10a + 3b$

$g'(1) = 4a$

Como, f'(1)=g'(1), temos que:

$- 10a + 3b = 4a \: = > - 14a + 3b = 0$

Também, como f'(2)=10, temos:

$f'(2) = - 20a + 3b = 10$

$- 20a + 3b = 10 \: \: \times ( - 1) \\ - 14a + 3b = 0$

Somado as duas equações, temos:

$20a - 3b = - 10 = > \: \: \\ - 14a + 3b = 0 \: = > 6a = - 10 = > a = \dfrac{ - 5}{3}$

Então,

$a = \dfrac{ - 5}{3} = > \: 20a - 3b = - 10 \\ = > \: 20 \times (\dfrac{ - 5}{3} ) - 3b = - 10 \: \\ = > \dfrac{ - 100}{3} - 3b = - 10 \\ = > \ 3b = - 10 + \dfrac{ 100}{3} \\ = > 3b = \dfrac{ 70}{3} = > b = \dfrac{ 70}{9}$