Question

Sejam as funções f(x) = x² + 2x + 3 e g(x) = x² + ax + b. Mostre que, se f o g = g o f, então f = g.

Answer 1

Resposta:

Sejam $f$ e $g$ duas funções reais assim definidas:

$f(x) = x^2 + 2x+ 3;\\\\g(x) = x^2 + ax + b, \:\:a, b \in \mathbb{R}.$

Encontremos a expressão da função composta $f\left[g(x) \right]:$

$f\left[g(x) \right] = g^2(x) + 2g(x) + 3\\\\= \left(x^2 + ax + b \right)^2 + 2 \left(x^2 + ax+ b \right) + 3\\\\= \left(x^4 + ax^3 + bx^2 + ax^3 + a^2x^2 + abx + bx^2 +abx + b^2\right) + 2x^2 + 2ax + 2b + 3\\\\= x^4 + \left(a + a \right)x^3 + \left(b +a^2+b+2 \right)x^2 + \left(ab+ab+2a\right)x + b^2+2b+3\\\\= \boxed{x^4 + 2ax^3 + \left(a^2 + 2b+2\right)x^2 + \left(2ab+2a \right)x + b^2 + 2b+3.}$

Encontremos a expressão da função composta $g \left[ f(x) \right]:$

$g \left[ f(x) \right] = f^2(x) + a \cdot f(x) + 3\\\\= \left(x^2 + 2x + 3 \right)^2 + a\left(x^2 + 2x + 3 \right) + 3\\\\= \left(x^4 + 2x^3 +3x^2 + 2x^3 +4x^2 +6x +3x^2 +6x + 9 \right) + ax^2 + 2ax + 3a + 3\\\\= x^4 + \left(2 + 2 \right)x^3 + \left(3+4+3+a \right)x^2 +\left(6+6+2a\right)x + 9+3a+3\\\\= \boxed{x^4 + 4x^3 + \left(10+a\right)x^2 + \left(12 + 2a \right)x + 3a + 12.}$

Ao igualarmos $f \left[ g(x) \right]$ a $g \left[ f(x) \right]$, teremos o seguinte sistema:

$i)\:\:2a = 4 \Leftrightarrow \boxed{a = 2}$

$ii) \:\: a^2 + 2b + 2 = 10 + a \Leftrightarrow 4 + 2b +2 = 12 \Leftrightarrow \boxed{b = 3}$

Verifiquemos se os valores encontrados acima resolvem as duas equações seguintes:

$iii) \:\: 2ab + 2a = 12 + 2a \Leftrightarrow 2 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 2 = 12 + 2 \cdot 2 \Leftrightarrow 16 = 16\:\:\:(ok!)$

$iv) \:\: b^2 + 2b + 3 = 3a + 12 \Leftrightarrow 3^2 + 2\cdot 3 + 3 = 3 \cdot 2 + 12 \Leftrightarrow 18 = 18\,\,\,(ok!)$

Portanto, $a = 2$ e $b = 3.$

Assim,

$\boxed{\boxed{ g(x) = x^2 + ax + b = x^2 + 2x + 3 = f(x).}}$