Question

Sejam as funções

f(x) = $\sqrt{x}$
g(x) = x² + 1
h(x) = f(g(x))

Então, considera-se que:

a) A inversa da função h(x) é a função $h^{-1}$(x) = $\sqrt{x^2 +1}$.

b) h(x) é crescente no intervalo [-1, +∞)

c) h(x) é decrescente no intervalo (-∞, 1]

d) h(x) é uma função par

e) h(x) é uma função ímpar

Answer 1

Resposta: d) h(x) é uma função par.

Explicação passo a passo:

Vamos analisar cada uma das alternativas e encontrar a correta.

a) Falso

Veja que  $h(x)$ é uma composta das funções $f(x)$ e $g(x)$

$h(x)=f(g(x))\\ h(x)=\sqrt{x^2+1}$

Agora teríamos que calcular a inversa de $h(x)$, mas nem vai precisar, pois

$\sqrt{x^2+1}$ já é a própria $h(x)$ e não $h^{-1}(x)$.

b) Falso

Para a função $h(x)$ ser crescente, devemos ter que

$x_1 < x_2 \Rightarrow h(x_1) < h(x_2)$ $\forall x_1, x_2 \in [-1, +\infty)$

Em particular,

$-1 < 1$ tem que implicar em $h(-1) < h(1)$

$h(-1) = \sqrt{(-1)^2+1} = \sqrt{1 + 1} =\sqrt{2}$  e

$h(1) = \sqrt{1^2+1}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$

Ou seja, $h(-1) = h(1)$ então a função não é crescente nesse intervalo.

c) Falso

Para a função $h(x)$ ser decrescente, devemos ter que

$x_1 < x_2 \Rightarrow h(x_1) > h(x_2)$ $\forall x_1 , x_2 \in (- \infty, 1]$

Mas como vimos no item b), $h(-1) = h(1)$. Então a função também não é decrescente nesse intervalo.

d) Verdadeiro

Uma maneira imediata de descobrir se uma função é par é olhando para o gráfico dela. Se você fizer um esboço do gráfico, vai notar que ele é simétrico em relação ao eixo vertical e isso é uma das características de uma função par.

e) Falso

Já para a função ímpar o gráfico deve ser simétrico em relação a origem. O que não ocorre na função $h(x)$.

É isso, espero ter ajudado e bons estudos :)