Question

Sejam as funções f(x) = 3 + 4x, g(x) = x2 – x + 9 e h(x). Seja também U um intervalo tal que f(x) ≤ h(x) ≤ g(x), assim como o limite apresentado a seguir: . Neste sentido e com base nestas informaões, analise as asserções abaixo: I. O valor do limite acima é 11 PORQUE II. f e g são contínuas e f(2) = g(2) = 11. A respeito dessas asserções, assinale a opção correta.

Answer 1

Fica mais fácil analisar a asserção II e depois a I:

II. f e g são contínuas e f(2) = g(2) = 11. VERDADEIRA

Uma função é contínua num ponto x = a quando obedecer as três preposições:

i) Existir f(a).

ii) Existir $\lim_{x \to a}$

iii) f(a) = $\lim_{x \to a}$

Vamos investigar as funções em a = 2.

f(x) = 3 + 4x

i) f(2) = 3 + 4(2) = 3 + 8 = 11

ii) $\lim_{x \to 2} 3 + 4x=3+4.2=3+8=11$

iii) f(2) = $\lim_{x \to 2}$

A função f(x) é contínua em 2.

g(x) = x² – x + 9

i) f(2) = 2² – 2 + 9 = 4 - 2 + 9 = 11

ii) $\lim_{x \to 2} x^{2} -x+9=2^{2}-2+9=4-2+9=11$

iii) f(2) = $\lim_{x \to 2}$

A função g(x) é contínua em 2.

I. O valor do limite acima é 11. VERDADEIRA

Pelo Teorema do confronto, se uma função está no meio de outras duas funções que tem o mesmo limite, então obrigatoriamente a função que está no meio terá o mesmo limite das outras duas.

f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) ⇒ $\lim_{x \to a}$ f(x) = $\lim_{x \to a}$ h(x) = $\lim_{x \to a}$ g(x)