Question

Sejam as esferas: S:x²+y²+z²-2x-2y-2z+2=0 e S1: x²+y²+z²-2x-2y-2zR+2=0, R>0.


Encontrar todos os valores de R de modo que as esferas sejam tangentes e para cada R encontrado, determinar o ponto de tangência.

Answer 1

R tem que ser maior que 0 e diferente de 1. Já o ponto de tangência é igual a (1,1,0).

Primeiramente, vamos completar quadrado de cada equação:

x² + y² + z² - 2x - 2y - 2z + 2 = 0

x² - 2x + 1 + y² - 2y + 1 + z² - 2z + 1 = 1 + 1 + 1 - 2

(x - 1)² + (y - 1)² + (z - 1)² = 1 → raio 1 e centro (1,1,1).

x² + y² + z² - 2x - 2y - 2zR + 2 = 0

x² - 2x + 1 + y² - 2y + 1 + z² - 2zR + R² = 1 + 1 + R² - 2

(x - 1)² + (y - 1)² + (z - R)² = R² → raio R e centro (1,1,R).

Se as esferas forem tangentes externamente, então a soma dos raios é igual à distância dos centros.

Porém,

$\sqrt{(1-1)^2+(1-1)^2+(1-R^2)^2}=1+R^2$

1 - R² = 1 + R²

2R² = 0

R = 0, o que não pode acontecer, pois R > 0.

Temos mais duas possibilidades:

$\sqrt{(1-1)^2+(1-1)^2+(1-R^2)^2}=1-R^2$ ou $\sqrt{(1-1)^2+(1-1)^2+(1-R^2)^2}=R^2-1$.

Na primeira possibilidade chegamos a nenhuma solução. Já na segunda, chegamos ao resultado: R = 1 ou R = -1, o que não pode acontecer.

Observe que o ponto (1,1,0) pertence as duas esferas. Logo, o ponto de tangência é (1,1,0) e o raio tem que ser maior que 0 e diferente de 1.