Question

Sejam as curvas.
Determinar a área entre as curvas.​

Answer 1

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$\underline{\rm observe~figura~que~anexei.}\\\tt a~\acute area~\acute e~dada~por:\\\displaystyle\sf A=2\cdot\int_0^2(4-x^2)~dx=\\\sf A=2\cdot\bigg[4x-\dfrac{1}{3}x^3\bigg]_0^2\\\sf A=2\cdot\bigg[4\cdot2-\dfrac{1}{3}\cdot2^3\bigg]\\\sf A=2\cdot\bigg[8-\dfrac{8}{3}\bigg]\\\sf A=2\cdot\bigg[\dfrac{24-8}{3}\bigg]\\\sf A=2\cdot\dfrac{16}{3}\\\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf A=\dfrac{32}{3}~u\cdot a}}}}$

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a área limitada pela região formada pelas interseções das curvas é:

        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf S = \frac{32}{3}\,u^{2}\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam as funções:

               $\Large\begin{cases}\tt \tau: f(x) = 4\\\tt \rho: g(x) = x^{2}\end{cases}$

• Calcular o intervalo de integração. Para isso devemos calcular as abscissas dos pontos de interseção das curvas.

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt f(x) = g(x)\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt 4 = x^{2}\end{gathered}$

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt x^{2} = 4\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt x = \pm\sqrt{4}\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt x = \pm2\end{gathered}$

        Resolvendo esta equação chegamos à seguinte solução:

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt S = \{-2, \,2\}\end{gathered}$

         Então o intervalo de integração procurado é::          

               $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt I = \left[a,\,b\right] = \left[x',\,x''\right] = \left[-2,\,2\right]\end{gathered}$

• Calcular a área compreendida entre as curvas. Para isso devemos utilizar a seguinte fórmula:

                $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt S = \int_{a}^{b} \left[f(x) - g(x)\right]\,dx\end{gathered}$

        Onde:

           $\Large\begin{cases}\tt a = Limite\:inferior\:intervalo\\\tt b = Limite\:superior\:intervalo\\\tt f(x) = Func_{\!\!,}\tilde{a}o\:mais\:acima\\\tt g(x) = Func_{\!\!,}\tilde{a}o\:mais\:abaixo\end{cases}$

        Como a parábola é simétrica em relação ao eixo dos "y" e a reta é paralela ao eixo dos "x", a integral poder ser calculada utilizando a seguinte estratégia:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt S = 2 \int_{0}^{2} \left[f(x) - g(x)\right]\,dx\end{gathered}$  

        Então, temos:

        $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt S = 2\int_{0}^{2} \left[4 - x^{2}\right]\,dx\end{gathered}$

             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt = 2\cdot\left\{\left[4x - \frac{x^{2 + 1}}{2 + 1} + c\right]\bigg|_{0}^{2}\right\}\end{gathered} }$

             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt = 2\cdot\left\{\left[4x - \frac{x^{3}}{3} + c\right]\bigg|_{0}^{2}\right\}\end{gathered} }$

              $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt =2\cdot\left\{ 8 - \frac{8}{3} \right\}\end{gathered} }$

              $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt = 2\cdot\left\{\frac{24 - 8}{3}\right\}\end{gathered} }$

              $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = 2\cdot\frac{16}{3}\end{gathered}$

              $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \frac{32}{3}\end{gathered}$    

✅ Portanto, a área procurada é:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt S = \frac{32}{3}\,u^{2}\end{gathered}$

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Veja a solução gráfica representada na figura: