Sejam AD, BE e CF as medianas de um triângulo ABC. Mostre que AD + BE + CF = 0
Obs: AD + BE + CF = 0 são vetores.
Se possível a explicação, por favor.
Soluções para a tarefa
Olá.
Usarei a mesma notação que você. Onde estiver escrito AB, por exemplo, entenda-se como o segmento orientado que parte de A e chega em B.
Queremos encontrar o valor de AD + BE + CF.
Da soma de segmentos orientados, sabemos que:
AD = AB + BD;
BE = BA + AE;
CF= CA + AF;
Então, a soma pode ser escrita como:
AD + BE + CF = (AB + BD) + (BA + AE) + (CA + AF) =
= (CA + AE) + (AB + BA) + (AF + BD) =
= CE + AA + AF + BD
Entretanto, AA = O, e CE + O = CE, por isso, teremos:
AD + BE + CF = CE + AF + BD
Porém, CE é a metade do lado AC(veja no anexo um esboço do problema). Do mesmo modo, AF é metade de AB e BD é metade de BC. Algebricamente, isto significa:
CE = CA/2
AF = AB/2
BD = BC/2
Assim, a soma vale:
AD + BE + CF = CE + AF + BD = (CA/2) + (AB/2) + (BC/2)
Unindo num único denominador, vem:
AD + BE + CF = (CA + AB + BC)/2 = (CB + BC)/2 = CC/2 = O
Portanto, temos que:
AD + BE + CF = O q.e.d
Resposta:
Usarei a mesma notação que você. Onde estiver escrito AB, por exemplo, entenda-se como o segmento orientado que parte de A e chega em B.
Queremos encontrar o valor de AD + BE + CF.
Da soma de segmentos orientados, sabemos que:
AD = AB + BD;
BE = BA + AE;
CF= CA + AF;
Então, a soma pode ser escrita como:
AD + BE + CF = (AB + BD) + (BA + AE) + (CA + AF) =
= (CA + AE) + (AB + BA) + (AF + BD) =
= CE + AA + AF + BD
Entretanto, AA = O, e CE + O = CE, por isso, teremos:
AD + BE + CF = CE + AF + BD
Porém, CE é a metade do lado AC(veja no anexo um esboço do problema). Do mesmo modo, AF é metade de AB e BD é metade de BC. Algebricamente, isto significa:
CE = CA/2
AF = AB/2
BD = BC/2
Assim, a soma vale:
AD + BE + CF = CE + AF + BD = (CA/2) + (AB/2) + (BC/2)
Unindo num único denominador, vem:
AD + BE + CF = (CA + AB + BC)/2 = (CB + BC)/2 = CC/2 = O
Portanto, temos que:
AD + BE + CF = O q.e.d
Explicação passo-a-passo: