Question

Sejam A um conjunto com 8 elementos e B um conjunto tal que A U B contenha 12 elementos. Então, o

número de elementos de P(B \ A) U P(∅) é igual a


a) 8

b) 16

c) 20

d) 17

e) 9


OBS: Se X é um conjunto, P(X) denota o conjunto de todos

os subconjuntos de X.

A \ B = {x∉A; x ∈B}.​

Answer 1

Se A contém 8 elementos e a União de A com B possui 12 elementos, é correto afirmar que:

$|A\cup B| = |A|+|B|-|A\cap B|$

$|A\cap B| = |A|+|B|-|A\cup B|$

Se

$|B-A|=|B|-|A \cap B|$

então,

$|B-A|=|B|-(|A|+|B|-|A\cup B|)$

$|B-A|=|A\cup B|-|A|$

Portanto,

$|B-A|=12-8=4$

Sabendo que

$P(X)=2^{|X|}$

Temos que:

$P(B-A)=2^{|B-A|}=2^4=16$

Uma vez que O conjunto vazio já é parte de P(B-A), então a união entre eles é o próprio P(B-A).

Assim, obtemos a alternativa b) como resposta.

Answer 2

Resposta:

16

Explicação passo-a-passo:

Bom, a partir da resolução do amigo acima, que está totalmente correta, vim explicar uma parte que comprova isto, que talvez outras pessoas como eu tenham ficado com dúvida.

Como o colega acima nos mostrou a união pode ser facilmente encontrada por P( A∪B)= |A| + |B| - |A∩B|

Está é uma formula pronta para encontrar a união e ela apresenta o valor da - A∩B , pois quando pegamos os valores de A e B estamos meio que repetindo eles duas vezes, pois a intersecção é a junção dos elementos iguais, então, mais ou menos explicando seria como se eu tive dois como interseção de A e B  e quando eu vou contar quantos elementos tem no conjunto A, eu acabo pegando o valor da interseção com B e faço o mesmo com o B, por isto como se eu tivesse contando duas.  Outro fator interessante também, é que  eu demonstrarei por que o rapaz a cima desconsiderou  a interseção:

Interseção: não significa que todos os elementos e um número devem estar na união.

Intersecção significa que eu vou pegar os valores do conjunto A que tem no conjunto B e fazer a junção deles.

Já a união é pegar todos os elementos de A e os elementos de B e juntar-los, por mais que eles não tenham nenhum elemento igual.

Eu farei um processo aqui para descobrir a interseção e como disse antes provar que o amigo acima estava correto:

Usando os valores que ele descobriu eu teria

A∪B= |A|+|B| - |A∩B|

12 = 8 + 4 - |A∩B|

12 = 12 -|A∩B|

|A∩B| = 0

E com isto eu demostro o por que do colega acima ter digamos desconsiderado o valor da interseção. Sei que pode parecer uma ajuda inútil, mas tenho certeza que algumas pessoas querem compreender melhor o porque de algumas coisas terem ocorrido. Lembrando que está resposta é apenas um complemento da resposta do colega acima.