Question

Sejam a pertence R e b pertence a R, com a>b, as raízes da equação x²+6x+35/4=0. A equação cujas raízes são a/2 e b/3 é:

a) 4x²-24+35=0

b) 24x²+58x+35

Answer 1

$x^2+6x+\dfrac{35}{4}=0$

$4x^2+24x+35=0$

$\Delta=24^2-4\cdot4\cdot35=576-560=16$

$x=\dfrac{-24\pm\sqrt{16}}{2\cdot4}=\dfrac{-24\pm4}{8}$

$x'=\dfrac{-24+4}{8}=\dfrac{-20}{8}=\dfrac{-5}{2}$

$x"=\dfrac{-24-4}{8}=\dfrac{-28}{8}=\dfrac{-7}{2}$

$a=\dfrac{-5}{2}$ e $b=\dfrac{-7}{2}$

$\dfrac{a}{2}=\dfrac{-5}{4}$

$\dfrac{b}{3}=\dfrac{-7}{6}$

Numa equação $ax^2-bx+c$, temos que $S=\dfrac{-b}{a}$ é a soma de suas raízes e $P=\dfrac{c}{a}$ é o produto.

Note que, $\dfrac{-5}{4}+\dfrac{-7}{6}=\dfrac{-15-14}{12}=\dfrac{-29}{12}$ e $\dfrac{-5}{4}\cdot\dfrac{-7}{6}=\dfrac{35}{24}$.

Assim, $\dfrac{-b}{a}=\dfrac{-29}{12}$ e $\dfrac{c}{a}=\dfrac{35}{24}$.

A equação é $x^2+\dfrac{29}{12}x+\dfrac{35}{24}$, ou seja, $24x^2+58x+35=0$.

Letra B

Answer 2

a)  Determinar a e b:

$x^2+6x+\frac{35}{4}=0\\ \\ 4x^2+24x+35=0\\ \\ \Delta=24^2-4.4.35=576-560=16\\ \\ x=\frac{-24\pm4}{8}\\ \\ a=-3\\ \\ b=-\frac{20}{8}=-\frac{5}{2}$

b) Calculando a soma e o produto das raízes da equação procurada:

$S=\frac{a}{2}+\frac{b}{2}=\frac{a+b}{2}=\frac{-3-\frac{5}{2}}{2}=\frac{-11}{2}\div2=-\frac{11}{4}\\ \\ P=\frac{a}{2}*\frac{b}{2}=\frac{-3}{2}*(\frac{-5}{2})=\frac{15}{4}$

c)  Obtendo a equação:

$x^{2} +\frac{11}{4}x+\frac{15}{4}=0\\ \\ \boxed{4x^2+11x+15=0}$