Question

Sejam a, m, n inteiros com mdc(m,n) = 1

Mostre que, se m divide a e n divide a, então

(mn) divide a

Answer 1

     m | a   ⟺   a = mq₁

     n | a   ⟺   a = nq₂

para algum q₁ ∈ ℤ, e algum q₂ ∈ ℤ.


Então, temos que

     a = mq₁ = nq₂


Como q₂ é inteiro, por definição de divisibilidade podemos afirmar que

     n | mq₁


Mas como mdc(m, n) = 1, devemos ter necessariamente

     n | q₁   ⟺   q₁ = nq

para algum q ∈ ℤ.


Portanto,

     a = mq₁

     ⟺   a = m(nq)

     ⟺   a = (mn)q

     ⟺   mn | a

como queríamos demonstrar.


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)