Sejam a e b reais quaisquer. Mostre que a² + b² = 0 se, e somente se, a = b = 0.
Soluções para a tarefa
Não sei quais axiomas vc esta assumindo, então primeiro provaremos que x²≥0 para todo x.
Lembramos que
1) Se dois números são positivos sua soma e seu produto é positivo
2) Para qualquer número x temos sempre 3 possibilidades: x = 0, ou x é positivo ou -x é positivo
Isso implica que o quadrado de qualquer número não nulo é positivo. De fato, se x é positivo, então x² é o produto de dois números positivos. Daí é positivo pela propriedade 1. Da mesma forma se x é negativo, então -x é positivo e portanto x² = (-x)*(-x) é novamente o produto de dois números positivos.
Assim, sempre vale que x² ≥ 0, qualquer que seja x
Voltando ao problema:
Caso seja a ≠ 0 segue que
a² > 0 ⇒ a² + b² > b² ≥ 0 ⇒ a² + b² > 0
uma contradição. Logo a = 0. E com isso
a²+b² = 0 ⇒ b² = 0 ⇒ b = 0