Sejam a e b números naturais tais que mdc(a, b) = 1. Mostre que mdc(a + b, b) = 1.
Soluções para a tarefa
Olá.
MDC é a sigla de Máximo Divisor Comum. O máximo divisor comum é obtido através da fatoração dos números por fatores primos.
Foi nos dado: mdc(a,b) = 1
No caso, temos que, dividindo a e b, apenas o 1 é um fator comum. Sendo assim, a e b não tem múltiplos em comum, são primos entre si.
Devemos provar que: mdc(a + b,b) = 1
Levando em consideração o teorema de Bachet-B´ezout, temos que existe uma combinação de números que, juntos de a e b, levam o MDC a ser igual a um. Algebricamente, temos:
mdc(a, b) = 1
ax + by = 1
Levando em consideração esse teorema, vamos substituir o primeiro a por (a + b) e desenvolver o cálculo.
ax + bx = 1
(a + b)x + by = 1
ax + bx + by = 1
bx + ax + by = 1
Como ax + by é o mesmo da proposição inicial do teorema de B´ezout, podemos substituir.
bx + (1) = 1
bx + 1 = 1
bx = 1 - 1
bx = 0
Por propriedade, temos que todo número qualquer n, diferente de 0, é divisor de 0. Com isso, podemos dizer que, bx vai ser divisível por 1.
Se substituirmos o bx no início do cálculo do Teorema, teremos que ele não altera a condição inicial, onde os valores tem seu mdc igual a 1.
Ao demonstrar que não altera, está provado que mdc(a + b, b) = 1.
Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.
Bons estudos