Question

Sejam a e b números naturais. Prove que: “a e b são ímpares, se e somente se, a.b é ímpar”. Dica: Para verificar a recíproca (volta), tente por absurdo.

Answer 1

•    $\mathtt{(I)}$  Provar que

Se $\mathtt{a}$ e $\mathtt{b}$ são ímpares, então $\mathtt{a\cdot b}$ é ímpar.


Prova:

Sejam $\mathtt{a,\,b}$ dois naturais ímpares. Logo, existem naturais $\mathtt{q_1,\,q_2}$ de forma que

$\mathtt{a=2q_1+1}\\\\ \mathtt{b=2q_2+1}$


Multiplicando as duas igualdades acima membro a membro, temos que

$\mathtt{a\cdot b=(2q_1+1)\cdot (2q_2+1)}\\\\ \mathtt{a\cdot b=(2q_1+1)\cdot 2q_2+(2q_1+1)\cdot 1}\\\\ \mathtt{a\cdot b=4q_1q_2+2q_2+2q_1+1}\\\\ \mathtt{a\cdot b=2\cdot 2q_1q_2+2q_2+2q_1+1}\\\\ \mathtt{a\cdot b=2\cdot (2q_1q_2+q_2+q_1)+1}$


Sabemos que a soma e o produto são fechados em $\mathbb{N},$ de forma que

$\mathtt{2q_1q_2+q_2+q_1=q_3\in\mathbb{N}}$


E então,

$\mathtt{a\cdot b=2q_3+1}\\\\ \therefore~~\mathtt{a\cdot b}\texttt{ \'e \'impar.}$

________

•    $\mathtt{(II)}$  Provar que

Se $\mathtt{a\cdot b}$ é ímpar, então $\mathtt{a}$ e $\mathtt{b}$ são ímpares.


Prova:

Suponha que $\mathtt{a\cdot b}$ é ímpar, mas que $\mathtt{a}$ não é ímpar (ou seja,  $\mathtt{a}$ é par).

Logo, existe um natural $\mathtt{q_4}$ de forma que

$\mathtt{a=2q_4}$


Multiplicando os dois lados por $\mathtt{b},$

$\mathtt{a\cdot b=2q_4\cdot b}\\\\ \mathtt{a\cdot b=2\cdot (q_4\cdot b)}\\\\ \mathtt{a\cdot b=2q_5}\quad\quad\texttt{sendo }\mathtt{q_5=q_4\cdot b}\\\\ \therefore~~\mathtt{a\cdot b}\texttt{ \'e par\quad(absurdo!)}$

Absurdo, pois supusemos inicialmente que o produto $\mathtt{a\cdot b}$ é ímpar.

 
Dessa forma, $\mathtt{a}$ não pode ser par, logo $\mathtt{a}$ é necessariamente ímpar.


De forma análoga, se supusermos que $\mathtt{a\cdot b}$ é ímpar, mas que $\mathtt{b}$ não é ímpar (ou seja,  $\mathtt{b}$ é par), chegamos a outro absurdo.

Logo, $\mathtt{b}$ também não pode ser par: $\mathtt{b}$ é necessariamente ímpar.

_______

Por $\mathtt{(I)}$ e $\mathtt{(II)},$ fica provado que para quaisquer $\mathtt{a,\,b\in\mathbb{N},}$

$\mathtt{a,\,b}\texttt{ s\~ao \'impares}~\Leftrightarrow~\mathtt{a\cdot b}\texttt{ \'e \'impar}.$


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)