Question

Sejam a,b e c números reais quaisquer. Prove as seguintes propriedades:
a. Se a < b então a + c < b + c .

b. Se a < b e c > 0 então ac < bc.

c. Se a < b e c < 0 então bc < ac.

d. Se a < b então a < a+b/2 < b.

e. Se a < b e b < c então a < c.

Answer 1

Lembramos das seguintes propriedades dos números reais:

1) A soma e o produto de dois números positivos é positivo.

2) Para qualquer número real x vale: x = 0 ou x é positivo, ou -x é positivo

3) Dizemos que a < b quando existe um número positivo tal que a+k = b

A partir dessas propriedades (na verdade 3 é apenas a definição) podemos provas as outras propriedades de ordenamento.

a)

Se a < b  então por 3) existe k positivo tal que

a + k = b

Somando c em ambos os lados advém

a + k + c = b +c

(a+c) + k = b+c

Logo, a+c < b+c

b)

Se a <  b então novamente existe k positivo tal que

a + k = b

Multiplicando ambos os lados por c segue que

ac + kc = bc

Como kc é o produto de dois números positivos, é positivo também. Logo pela propriedade 3) concluímos

ac < bc

c)

Se a < b existe k positivo tal que

a + k = b

Multilicando por c:

ac + kc = bc

Dessa vez note que k é positivo e -c é positivo. Logo (-c)k = -kc é positivo. Dai:

ac = bc + kc

Por 3) temos

ac > bc

d) Se a< b e b < c existem p e q números positivos tais que

a + p = b

b + q = c

Somando q na equação de cima temos

a + p + q = b + q = c

Como p +q é a soma de dois positivos, também é positivo. Logo, por 3) concluímos que

a  < c