Question

Sejam a, b e c números reais positivos e o polinômio
$\begin{array}{l}\sf\text{λ}(x)=x^3-ax^2+bx-c\end{array}$
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Prove que se {x₁, x₂, x₃} ⊂ ℝ é o conjunto das raízes de λ então
$\begin{array}{c}\sf3a^2\geq9b\geq\sqrt[\sf3]{\sf19683c^2}\end{array}$​

Answer 1

Resposta: demonstração.

Se x₁ , x₂ e x₃ são as três raízes reais do polinômio cúbico univariado mônico λ(x) = x³ – ax² + bx – c de coeficientes a, b e c pertencentes a ℝ*₊ , então, das Relações de Girard, inferimos que:

$\begin{cases}\sf x_1+x_2+x_3=\boldsymbol{\sf a}\\ \sf x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\boldsymbol{\sf b}\\ \sf x_1x_2x_3=\boldsymbol{\sf c} \end{cases}$

Da Álgebra, é verdade que ∀y₁ ∈ ℝ ,∀y₂ ∈ ℝ e ∀y₃ ∈ ℝ ,

$\begin{cases}\sf \big(y_1-y_2\big)^{\!\:\!\:\!2}\!+\big(y_1-y_3\big)^{\!\:\!2}\!+\big(y_2-y_3\big)^{\!\:\!2}\geqslant 0\qquad\boldsymbol{\sf (\:1\,)}\\\\ \sf \big(y_1+y_2+y_3\big)^{\!\:\!2}\!=y_{1}^2+y_{2}^2+y_{3}^2+2\:\!\big(y_1y_2+y_1y_3+y_2y_3\big)\qquad \boldsymbol{\sf (\:2\,)}\\\\ \,\sf y_{1}^3+y_{2}^3+y_{3}^3-3\:\!y_1y_2y_3=\big(y_1+y_2+y_3\big)\!\:\!\:\!\big(y_{1}^2+y_{2}^2+y_{3}^2-y_1y_2-y_1y_3-y_2y_3\big)\qquad \boldsymbol{\sf (\:3\:)}\end{cases}$

Partindo da equação ( 1 ), temos:

$\sf \big(y_1-y_2\big)^{\!\:\!2}+\big(y_1-y_3\big)^{\!\:\!2}+\big(y_2-y_3\big)^{\!\:\!2}\geqslant 0$

$\sf y_{1}^2-2\:\!y_1y_2+y_{2}^2+y_{1}^2-2\:\!y_1y_3+y_{3}^2+y_{2}^2-2\:\!y_2y_3+y_{3}^2\geqslant 0$

$\sf y_{1}^2+y_{1}^2+y_{2}^2+y_{2}^2+y_{3}^2+y_{3}^2-2\:\!y_1y_2-2\:\!y_1y_3-2\:\!y_2y_3\geqslant 0$

$\sf 2\:\!y_{1}^2+2y_{2}^2+2\:\!y_{3}^2-2y_1y_2-2y_1y_3-2\:\!y_2y_3\geqslant 0$

$\sf 2\!\:\!\left(y_{1}^2+y_{2}^2+y_{3}^2\right)-2\:\!\big(y_1y_2+y_1y_3+y_2y_3\big)\!\geqslant 0$

$\sf y_{1}^2+y_{2}^2+y_{3}^2-\!\:\!\big(y_1y_2+y_1y_3+y_2y_3\big)\!\:\!\geqslant 0$

$\sf y_{1}^2+y_{2}^2+y_{3}^2\:\!\geqslant\:\! y_1y_2+y_1y_3+y_2y_3$

$\sf y_{1}^2+y_{2}^2+y_{3}^2\:\!\geqslant \:\!3\big(y_1y_2+y_1y_3+y_2y_3\big)\!\:\!\:\!-2\:\!\big(y_1y_2+y_1y_3+y_2y_3\big)$

$\sf y_{1}^2+y_{2}^2+y_{3}^2+2\:\!\big(y_1y_2+y_1y_3+y_2y_3\big)\!\:\!\geqslant 3\:\!\big(y_1y_2+y_1y_3+y_2y_3\big)\qquad \boldsymbol{\sf (\:4\:)}$

Em seguida, fazendo y₁ = x₁ , y₂ = x₂ e y₃ = x₃ na desigualdade ( 4 ), certificamos que:

$\sf x_{1}^2+x_{2}^2+x_{3}^2+2\:\!\big(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3\big)\!\:\!\geqslant \:\!3\:\!\big(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3\big)$

$\sf \!\! \underbrace{\sf \big(x_1+x_2+x_3\big)^{\!\:\!2}\!\!}_{a^2}\:\:\! \geqslant\:\! \underbrace{\sf 3\:\!\big(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3\big)}_{3b}\\\\\\ \sf \therefore\ a^2\geqslant 3b\ \ \iff\ \ \large\boxed{\sf 3a^2\geqslant 9b}$

Para que possamos dar continuidade ao desenvolvimento do exercício e provar o lado direito da dupla desigualdade dada no enunciado, é necessário garantir a positividade das raízes reais x₁ , x₂ , x₃ do polinômio λ(x). Para tal, vamos analisar a variação/alternância dos sinais de seus coeficientes, a fim de descobrir a quantidade de raízes positivas e negativas. Após uma simples análise visual na lei de formação de λ(x), depreende-se que existem exatamente 3 (três) variações/alternâncias nos sinais de seus coeficientes e 0 (zero) variações/alternâncias nos sinais dos coeficientes de λ(– x), uma vez que a, b e c são reais positivos. À vista disso, podemos afirmar categoricamente que x₁ , x₂ e x₃ são ambas positivas (é fácil perceber que λ(x) não admite raiz nula), isto é, x₁ ∈ ℝ*₊ , x₂ ∈ ℝ*₊ e x₃ ∈ ℝ*₊ . Ao longo do desenvolvimento de ( 1 ) provamos que y₁² + y₂² + y₃² – y₁y₂  – y₁y₃  – y₂y₃ ≥ 0, para quaisquer y₁ , y₂ , y₃ em ℝ ; vimos também que x₁ > 0, x₂ > 0 e x₃ > 0, o que acarreta x₁x₂ > 0, x₁x₃ > 0 e x₂x₃ > 0. Fazendo y₁³ = x₁x₂ , y₂³ = x₁x₃ e y₃³ = x₂x₃ em ( 3 ), mostramos que y₁³ + y₂³ + y₃³ – 3y₁y₂y₃ = (y₁ + y₂ + y₃)(y₁² + y₂² + y₃² – y₁y₂  – y₁y₃  – y₂y₃) ≥ 0 e, como consequência,

$\sf x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3-3\:\!\big(x_1x_2\big)^{\!\:\!1/3}\big(x_1x_3\big)^{\!\:\!1/3}\big(x_2x_3\big)^{\!\:\!1/3}\geqslant 0$

$\sf x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3\geqslant 3\:\!\big(x_1x_2\big)^{\!\:\!1/3}\big(x_1x_3\big)^{\!\:\!1/3}\big(x_2x_3\big)^{\!\:\!1/3}$

$\sf x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3\geqslant 3\:\!\big[\big(x_1x_2\big)\!\:\!\:\!\big(x_1x_3\big)\!\:\!\big(x_2x_3\big)\big]^{1/3}$

$\sf x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3\geqslant3\:\!\big(x_{1}^2x_{2}^2x_{3}^2\big)^{\!1/3}$

$\sf x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3\geqslant 3\!\:\!\left[\big(x_1x_2x_3\big)^{\!\:\!2}\right]^{\!\:\!1/3}$

$\sf x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3\geqslant 3\:\!\big(x_1x_2x_3\big)^{\!\:\!2/3}$

$\sf x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3\geqslant 3\:\!\sqrt[\sf 3]{\sf \big(x_1x_2x_3\big)^{\!\:\!2}}$

$\sf \underbrace{\sf 9\:\!\big(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3\big)}_{9b}\geqslant\:\! \underbrace{\sf 27\:\!\sqrt[\sf 3]{\sf \big(x_1x_2x_3\big)^{\!2}}}_{27\sqrt[\sf 3]{\sf c^2}}\\\\\\ \sf \therefore\ 9b\geqslant 27\sqrt[\sf 3]{\sf c^2}\ \ \iff\ \ \large\boxed{\sf 9b\geqslant \sqrt[\sf 3]{\sf 19683c^2}}$

Por fim, devido à transitividade das desigualdades, concluímos o seguinte:

$\large\boxed{\begin{array}{l}\\ \sf 3a^2\geqslant 9b\geqslant \sqrt[\sf 3]{\sf 19683c^2}\\ \\ \end{array}}$

Obs.: para saber mais sobre a quantidade de raízes positivas e/ou negativas de um polinômio com coeficientes reais, pesquise sobre a Regra dos Sinais de Descartes.