Question

Sejam a, b e c números inteiros tais que ax² + bx + c é divisível por 5, para todo número inteiro x. Prove que a, b e c são divisíveis por 5.

Answer 1

Como ax²+bx+c é divisivel por 5 e a, b e c são números inteiros, então temos pelo algoritmo de Euclides ax² + bx + c = 5.( a₁ x² + b₁ x + c₁ )

Usando igualdade de polinômios entre ax² + bx + c = 5 a₁ x² + 5. b₁ x + 5.c₁ obtemos:

a=5.a₁ ⇒ a é múltiplo de 5, logo a é divisível por 5.

Analogamente temos

b=5.b₁ ⇒ b é múltiplo de 5, logo b é divisível por 5.

c=5.c₁ ⇒ b é múltiplo de 5, logo b é divisível por 5.

Assim provamos que a, b e c são divisíveis por 5.