Sejam a, b e c números inteiros tais que ax² + bx + c é divisível por 5, para todo número inteiro x. Prove que a, b e c são divisíveis por 5.
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Olá!
Para responder a essa pergunta você deve saber alguns conceitos de equações do segundo grau.
Basta saber que fórmula geral das equações do segundo grau é:
O x é valor a ser descoberto e, por ser uma equação de segundo grau, admite até duas raízes distintas. Portanto, independente do valor de a, b, c e o x não irá se modificar. Portanto, se você simplificar a equação por 5, o x continuará tendo o mesmo valor.
Espero ter ajudado!
vitorbortolini11:
No que isso prova que a, b e c são múltiplos de 5?
Usando igualdade de polinômios entre ax² + bx + c = 5 a₁ x² + 5. b₁ x + 5.c₁ obtemos:
a=5.a₁ ⇒ a é múltiplo de 5, logo a é divisível por 5.
Analogamente temos
b=5.b₁ ⇒ b é múltiplo de 5, logo b é divisível por 5.
c=5.c₁ ⇒ b é múltiplo de 5, logo b é divisível por 5.
Assim provamos que a, b e c são divisíveis por 5.
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