Sejam a, b e c números inteiros tais que ax² + bx + c é divisível por 5, para todo número inteiro x. Prove que a, b e c são divisíveis por 5.
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Olá!
Para responder a essa pergunta você deve saber alguns conceitos de equações do segundo grau.
Basta saber que fórmula geral das equações do segundo grau é:
O x é valor a ser descoberto e, por ser uma equação de segundo grau, admite até duas raízes distintas. Portanto, independente do valor de a, b, c e o x não irá se modificar. Portanto, se você simplificar a equação por 5, o x continuará tendo o mesmo valor.
Espero ter ajudado!
vitorbortolini11:
No que isso prova que a, b e c são múltiplos de 5?
PIC ta tenso né?
PIC só ta complicado na parte de geometria, o resto da pra encarar
Então ajude-nos cara, por favor, porque eu por exemplo, não tenho ideia de como fazer esta questão
Gente, é o seguinte: o que eu quis dizer é que qualquer número que você colocar como valor de a, b, e c será independente do valor de x. Na questão diz que o valor de a, b e c é divisível por 5 (mesmo sem dizer qual é o real valor de a, b e c) como os valor de x e os valores de a, b e c são independentes qualquer número que você colocar não irá interferir no valores das raízes da equação.
Vou te dar um exemplo: 20x^{2} + 15x + 10 = 0 (veja que todos os números são divisíveis por 5) se eu simplificar essa equação por 5 ela fica: 4x^{2} + 3x + 2 = 0 e as raízes da equação ficam a mesma coisa em ambas as equações. Conclusão: os valores de a, b e c são divisíveis por 5 porque os valores de x independem dos valores dados em a, b e c.
Salve, pessoal do PIC
Como ax²+bx+c é divisivel por 5 e a, b e c são números inteiros, então temos pelo algoritmo de Euclides ax² + bx + c = 5.( a₁ x² + b₁ x + c₁ )
Usando igualdade de polinômios entre ax² + bx + c = 5 a₁ x² + 5. b₁ x + 5.c₁ obtemos:
a=5.a₁ ⇒ a é múltiplo de 5, logo a é divisível por 5.
Analogamente temos
b=5.b₁ ⇒ b é múltiplo de 5, logo b é divisível por 5.
c=5.c₁ ⇒ b é múltiplo de 5, logo b é divisível por 5.
Assim provamos que a, b e c são divisíveis por 5.
Usando igualdade de polinômios entre ax² + bx + c = 5 a₁ x² + 5. b₁ x + 5.c₁ obtemos:
a=5.a₁ ⇒ a é múltiplo de 5, logo a é divisível por 5.
Analogamente temos
b=5.b₁ ⇒ b é múltiplo de 5, logo b é divisível por 5.
c=5.c₁ ⇒ b é múltiplo de 5, logo b é divisível por 5.
Assim provamos que a, b e c são divisíveis por 5.
A questão 6 é mais complicada que essa, mas ela tem mais gabaritos na internet, o que torna mais facil. Essa daí é so ver os fatores que levam C a ser divisor de 5, eu não vou passar resposta aqui, porque eu sou otário, mas pode ser que eu esteja errado.
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