Question

Sejam a, b e c números inteiros tais que ax^2+bx+c é divisível por 5, para todo número inteiro x. Prove que a, b e c são divisíveis por 5.

Answer 1

Olá!

No caso em questão temos um claro exemplo do estudo da fórmula da equações do 2 grau.

Assim, podemos dizer que a fórmula geral da equação do segundo grau é:

$ax^{2} + bx + c = 0$

Nessa fórmula, por ser de 2 grau, o valor de x pode admitir até duas raízes inteiras. Se eu tenho um valor de a, b, e c dividido por 5, como a equação é em função de x, tal valor não irá interferir na divisão. Veja:

$10x^{2} + 15x + 20 = 0$

Dividindo por 5, fica:

$2x^{2} + 3x + 4 = 0$

Espero ter ajudado!

Answer 2

P(x)=ax²+bx+c=a*(x-x')*(x-x'')  

x'+x''=-b/a   ==> b=-a*(x'+x'')

x'*x'' =c/a   ==> c= a*(x'*x'')

a,b,c são números inteiros  (está no texto)

b=-a*(x'+x'') ==>b=a*k  ..sendo k um número inteiro qualquer

c= a*(x'*x'') ==>c=a*k'  ..sendo k' um número inteiro qualquer

P(x)=ax²+bx+c=ax²+(a*k)x+a*k'

Para qualquer valor de x, P(x) será divisível  por 5 se 'a' for um múltiplo de 5.

Sendo 'a' um múltiplo de 5 , condição necessária e   suficiente para que P(x) seja divisível por 5, para qualquer valor de x, podemos  afirmar que a , b e c também sejam também divisíveis por 5, pois b e c são múltiplos de a.