Matemática, perguntado por jaydsonedfsk, 11 meses atrás

Sejam A, B e C matrizes do mesmo tipo m x n tal que a + b + c = 0. Mostre que Span {A,B} = Span{A,C}​

Soluções para a tarefa

Respondido por Usuário anônimo
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Podemos facilmente verificar esta igualdade de combinações lineares de matrizes.

Vamos primeiro explicitar o fato:

A+B+C=0

Da seguinte forma:

B=-(A+C)

Agora vamos montar o span{A,B} que são todas as combinações lineares geradas por A e B:

span\{A,B\}=\{\alpha.A+\beta.B\}

Onde α e β são números reais, ou seja, a combinação linear destes dois é qualquer matriz que pode ser escrita por esta soma de multiplicação por escalares quaisquer.

Agora vamos substituir B pelo fator do inicio:

span\{A,B\}=\{\alpha.A+\beta.B\}

span\{A,B\}=\{\alpha.A-\beta.(A+C)\}

span\{A,B\}=\{\alpha.A-\beta.A-\beta.C)\}

Colocando A em evidência:

span\{A,B\}=\{(\alpha-\beta).A-\beta.C)\}

Note que se α e β são números reais, então α - β também é um outro número real que chamarei de ω e -β também é um outro número real que chamarei de λ, então temos que:

span\{A,B\}=\{\omega.A+\lambda.C)\}

Assim note que o lado direito da igualdade é outra combinação linear, porém de A e C, logo este é o span de A e C:

span\{A,B\}=\{\omega.A+\lambda.C)\}

span\{A,B\}=span\{A,C\}

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