Sejam A, B e C matrizes do mesmo tipo m x n tal que a + b + c = 0. Mostre que Span {A,B} = Span{A,C}
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Podemos facilmente verificar esta igualdade de combinações lineares de matrizes.
Vamos primeiro explicitar o fato:
Da seguinte forma:
Agora vamos montar o span{A,B} que são todas as combinações lineares geradas por A e B:
Onde α e β são números reais, ou seja, a combinação linear destes dois é qualquer matriz que pode ser escrita por esta soma de multiplicação por escalares quaisquer.
Agora vamos substituir B pelo fator do inicio:
Colocando A em evidência:
Note que se α e β são números reais, então α - β também é um outro número real que chamarei de ω e -β também é um outro número real que chamarei de λ, então temos que:
Assim note que o lado direito da igualdade é outra combinação linear, porém de A e C, logo este é o span de A e C:
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