Question

sejam a,b,c números reais estritamente positivos, distintos entre si. Se log a, log b e logo são termos consecutivos de uma progressão aritmética

a) a,b,c é uma progressão aritmética
b) a,b,c é uma progressão geométrica
c) a+c=b
d) a<b<c
e) c>b>a​

Answer 1

como é uma PA, então a diferença entre termos consecutivos deve ser igual. Portanto:

logB - logA deve ser igual a logC - log B, já que se tratam de termos consecutivos. Portanto:

logB - logA = logC - logB

Pela propriedade dos logaritmos sabemos que uma subtração entre logaritmos é a mesma coisa que uma divisão entre os logaritmandos.

$log\frac{B}{A} = log\frac{C}{B}$

Como o que nos interessa é o resultado da razão, e como a igualdade deve permanecer, podemos cortar os "log" dos dois lados, obtendo o seguinte:

$\frac{B}{A} = \frac{C}{B}$

agora, multiplicando cruzado:

B × B = A × C

B² = A × C

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Perceba o seguinte: numa PG a multiplicação de dois termos separados por um termo central deve ser igual ao quadrado desse termo central. Exemplo: 3, 6, 12 (considerando 6 como o termo central).

A multiplicação dos  dois termos separados (3x12) é igual a 36, que é o quadrado do termo central (6)

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Sendo assim, como nós achamos que B² = AxC podemos concluir que se trata de uma PG, pois a multiplicação dos termos opostos é igual ao quadrado do termo central B.

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Resposta: letra b)