Question

Sejam a, b, c e R tais que vale a igualdade
a² + b² + c² - 4a + 2b - 2c + 6 = 0.
Sobre a, b e c são
feitas as afirmações a seguir.
I.
${a}^{b} < {b}^{a}$

II.
${ {c}^{b} }^{a} = {( - c)}^{b}$

III.
${b}^{( - a)} = {( - c)}^{b}$

IV.
$a > b > c$

Sendo assim, pode-se dizer que a quantidade de afirmativas verdadeiras é:​

Answer 1

Resposta:

Duas afirmações verdadeiras.

Explicação passo-a-passo:

$a^2+b^2+c^2-4a+2b-2c+6=0$

Vou escrever o 6 = 4 + 1 + 1. A expressão fica:

$(a^2-4a+4)+(b^2+2b+1) +(c^2-2c+1) = 0$

Usando os produtos notáveis, temos:

$(a-2)^2+(b+1)^2+(c-1)^2=0$

Como o quadrado de todo número real é sempre maior ou igual a 0, as três parcelas da soma acima são no mínimo positivas. Se uma delas for maior do que 0, a soma final jamais daria zero. Então todas são 0.

O quadrado de um número é 0 se, e somente se, esse número é 0.

Assim, temos:

$1^{o}) \; a - 2 = 0\\\\a=2$

$2^{o}) \;b+1=0\\\\b=-1$

$3^{o})\; c-1=0\\\\c=1$

Agora vamos analisar cada item de resposta:

$I)\; a^b<b^{a}\\\\a^b=2^{-1}=\frac{1}{2^1} =\frac{1}{2} \; e \; b^{a}=(-1)^2=1$

Como $\frac{1}{2} <1$, a afirmação é verdadeira.

$II)\; c^{b^{a}} = (-c)^b\\\\c^{b^{a}}=1^{(-1)^2}=1^1=1\;e\;(-c)^b=(-1)^{-1}=\frac{1}{(-1)^1} =\frac{1}{-1} =-1$

Como os relutados não são iguais, a afirmação é falsa.

$III)\; b^{(-a)}=(-c)^b\\\\ b^{(-a)}=(-1)^{(-2)}=\frac{1}{(-1)^2} =\frac{1}{1} =1 \; e \; (-c)^b=(-1)^{-1}\frac{1}{(-1)^1} =\frac{1}{1} =1$

Como os resultados são iguais, a afirmação é verdadeira.

$IV)\; a>b>c$

A afirmação é falsa, pois b = - 1  não é maior do que c = 1.

Portanto, a quantidade de afirmações verdadeiras é duas.