Question

Sejam A = (a, 0) e B = (0, a), com a 6= 0. Determine o número x em função

de a, de modo que o ponto C = (x, x) seja o terceiro vértice do triângulo

equilátero ABC.​

Answer 1

O número x em função de a pode ser $x=\frac{a+a\sqrt{3}}{2}$ ou $x=\frac{a-a\sqrt{3}}{2}$

Se ABC é um triângulo equilátero, então as distâncias entre A e B, A e C, B e C são iguais.

Sendo assim, vamos calcular cada uma das distâncias citadas.

Distância entre A e B:

$d=\sqrt{(0-a)^2+(a-0)^2} = a\sqrt{2}$.

Distância entre A e C:

$d=\sqrt{(x-a)^2+(x-0)^2}=\sqrt{(x-a)^2+x^2}$.

Distância entre B e C:

$d=\sqrt{(x-0)^2 + (x - a)^2}=\sqrt{(x-a)^2+x^2}$.

Agora, vamos igualar as distâncias:

$\sqrt{(x-a)^2+x^2}=a\sqrt{2}$

(x - a)² + x² = 2a²

x² - 2xa + a² + x² - 2a² = 0

2x² - 2xa - a² = 0

Temos aqui uma equação do segundo grau. Para resolvê-la, vamos utilizar a fórmula de Bhaskara:

Δ = (-2a)² - 4.2.(-a²)

Δ = 4a² + 8a²

Δ = 12a²

$x=\frac{2a+-\sqrt{12a^2}}{2.2}$

$x=\frac{2a+-2a\sqrt{3}}{4}$.

Então, temos duas opções:

$x=\frac{a+a\sqrt{3}}{2}$ ou $x=\frac{a-a\sqrt{3}}{2}$.