Question

Sejam A( –1, 0, 3) um ponto e n = (0, 2, –5) um vetor de R3. Determine a equação geral do plano µ que passa pelo ponto A e é ortogonal (perpendicular) ao vetor n. A partir dessas informações, analise as afirmações seguintes.

I - A equação geral do plano µ é 2y –5z +15 = 0
II - O ponto P(3, 0, 3) pertence ao plano µ
III - O ponto Q(1, 1, 0) pertence ao plano µ
IV - Os vetores AP e n são ortogonais
V - A distância do ponto Q(1, 1, 0) até o plano µ é de aproximadamente 3,1568

Answer 1

Vamos utilizar a fórmula para obter a equação do plano quando o problema disponibiliza apenas o vetor normal e um ponto A qualquer:

$d=-ax_{o}-by_{o}-cz_{o} \\ \\ d=-0.(-1)-2.0-(-5).3 \\ \\ d=5.3 \\ \\ d=15$

A equação geral possui o valor de "d" que encontramos, agora só temos que substituir os valores do vetor "n" na fórmula:

$ax+by+cz+d=0 \\ \\ 0x+2y+(-5)z+15=0 \\ \\ 2y-5z+15=0$

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II - 

$2y-5z+15=0 \\ \\ 2.0-5.3+15 = \\ \\ -15+15 = \\ \\ 0$

O resultado foi zero, logo o ponto P = (3,0,3) pertence ao plano.

III -

$2y-5z+15=0 \\ \\ 2.1-5.0+15 = \\ \\ 2+15 = \\ \\ 17 \neq 0$

O ponto P = (1,1,0) não pertence ao plano pois o resultado é diferente de zero.

IV -

$v=AP \\ \\ v=P-A \\ \\ v=(3,0,3)-(-1,0,3) \\ \\ v=(4,0,0)$

Para os dois vetores serem ortogonais, o produto entre eles deve ser igual a zero:

$v.n=(4,0,0).(0,2,-5) \\ \\ v.n=4.0+0.2+0.(-5) \\ \\ v.n=0$

São ortogonais.

V -

A fórmula da distância entre um ponto e um plano é a seguinte. Vc só tem que colocar a equação no numerador (em módulo, pois o o resultado deve ser positivo), substituir os valores das incógnitas pelos valores do ponto e dividir pela norma do vetor normal.

$d_{(P,\pi)}=\frac{|ax+by+cz+d|}{||n||} \\ \\ d_{(P,\pi)}=\frac{|0.1+2.1+(-5).0+15|}{\sqrt{(0)^{2}+(2)^{2}+(-5)^{2}}} \\ \\ d_{(P,\pi)}=\frac{|0+2-0+15|}{\sqrt{0+4+25}} \\ \\ d_{(P,\pi)}=\frac{|17|}{\sqrt{29}} \\ \\ d_{(P,\pi)}=\frac{17}{\sqrt{29}} \\ \\ d_{(P,\pi)} = 3,156820749$

Answer 2

Resposta:

ajudou muito. Obrigado

Explicação passo-a-passo: