Question

sejam 2 e - 7 os restos das divisões de um polinômio p (x) por x + 1 e por x + 2, respectivamente. determine o resto da divisão de p (x) por x^2 + 3x + 2.

Answer 1

Vamos lá.

Aqui já é um pouquinho mais trabalhoso pra encontrarmos o resto da divisão pedido.
Bem, tem-se que "2" e "-7" são os restos das divisões de um polinômio P(x) por "x+1" e por "x+2", respectivamente.
Com base nisso, pede-se o resto da divisão de P(x) por "x²+3x+2" .

Agora vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Note que este polinômio será da forma P(x) = ax² + bx + c.
E se P(x) quando dividido por "x+1" deixa resto "2", então P(-1) é igual a "2". Veja porque afirmamos que é P(-1): como P(x) dividido por "x+1" é igual a "2", então teremos que: x + 1 = 0 ---> x = -1. Por isso, vamos tomar P(-1) para igualar a "2".  Assim, vamos no polinômio P(x) que é este:

P(x) = ax² + bx + c ------ substituindo-se "x" por "-1", teremos:
P(-1) = a*(-1)² + b*(-1) + c ----- como P(-1) = 2, então teremos:
2 = a*1 - b + c
2 = a - b + c --- ou, invertendo-se:
a - b + c = 2    . (I)

ii) Como P(x), quando dividido por (x+2) deixa resto "-7", então p(-2) = - 7.
O motivo de afirmarmos que será P(-2) é porque: x+2 = 0 ---> x = - 2. Assim, vamos substituir o "x" por "-2" e igualaremos a "-7". Assim:

P(-2) = a*(-2)² + b*(-2) + c ----- como P(-2) = -7, então teremos que:
-7 = a*4 + b*(-2) + c
-7 = 4a - 2b + c ----- vamos apenas inverter, ficando:
4a - 2b + c = - 7    . (II)

iii) Agora vamos dividir o P(x) pela expressão "x²+3x+2". Assim, teremos:

ax² + bx + c |_x²+3x+2_ <--- divisor.
. . . . . . . . . . . a <---------------- quociente.
-ax²-3ax-2a
--------------------
0 + bx-3ax - 2a+c , ou apenas:

bx-3ax - 2a+c   . (III)  <--- Este será o resto deixado pela divisão de P(x) por x²+3x+2.

iv) Agora vamos trabalhar com as expressões (I) e (II), que são:

a - b + c = 2             . (I)
4a - 2b + c = - 7      . (II)

Vamos fazer o seguinte: multiplicaremos a expressão (I) por "-1" e, em seguida, somaremos, membro a membro,  com a expressão (II). Assim, teremos:

-a + b - c = - 2 --- [esta é a expressão (I) multiplicada por "-1"]
4a-2b + c = -7 --- [esta é a expressão (II) normal]
------------------------------- somando-se membro a membro, teremos:
3a - b + 0 = - 9  ---- ou:
3a - b = - 9 --------- passando "3a" para o 2º membro, teremos:
- b = - 9 - 3a ---- se multiplicarmos ambos os membros por "-1", teremos:
b = 3a + 9    . (IV)

Agora veja: se b = 3a+9, então vamos em quaisquer uma das expressões, ou na (I) ou na (II). Vamos na expressão (I), que é esta:

a - b + c = 2 ----- vamos substituir "b" por "3a+9", conforme a expressão (IV). Assim, teremos:

a - (3a+9) + c = 2
a - 3a - 9 + c = 2
- 2a + c = 2+9
- 2a + c = 11
c = 11 + 2a     . (V)

v) Vamos tomar a expressão (III), que é o resto que ficou na divisão de P(x) por "x²+3x+2". A expressão (III) é esta:

bx - 3ax - 2a + c ---- como "b" = "3a+9" [conforme a expressão (IV)] e "c" = "11+2a" [conforme a expressão (V)], então vamos substituir "b" e "c" pelos valores a que acima nos referimos, ficando assim:

(3a+9)*x - 3ax - 2a + (11+2a) ----- efetuando os produtos indicados e retirando os parênteses, teremos:

3ax + 9x - 3ax - 2a + 11 + 2a  ---- reduzindo os termos semelhantes, ficaremos apenas com:

9x + 11 <---- Pronto. Esta é a resposta. Este é o resto da divisão de P(x) por "x²+3x+2".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.