Question

Sejam -2 e 3 duas raízes da equação 2x^3-x^2+kx+t=0, em que k, t € R. A terceira raiz é:
a) impossível de ser determinada
b) -1
c) -1/2
d) 1/2
e) 1

Answer 1

Olá.

Se -2 e 3 são raízes podemos muito bem substituir esses valores no lugar do x e achar o valor de k e t.

$2x^{ 3 }-x^{ 2 }+kx+t=0\\ \\ 2(-2)^{ 3 }-(-2)^{ 2 }+k(-2)+t=0\\ 2*(-8)-4-2k+t=0\\ -16-4-2k+t=0\\ -20-2k+t=0\\ -2k+t=20$

$2(3)^{ 3 }-(3)^{ 2 }+k(3)+t=0\\ 2*27-9+3k+t=0\\ 54-9+3k+t=0\\ 45+3k+t=0\\ 3k+t=-45$

Agora nós temos um sistema, basta resolvê-lo.

$-2k+t=20\quad (-1)\\ \quad 3k+t=-45\\ \\ 2k-t=-20\\ 3k+t=-45\\ 5k=-65\\ k=-\frac { 65 }{ 5 } \\ \\ k=-13\\ \\ 3k+t=-45\\ 3(-13)+t=-45\\ -39+t=-45\\ t=-45+39\\ t=-6$

Achamos os valores de k e t. Agora é só usar o briott Ruffini.

$2x^{ 3 }-x^{ 2 }-13x-6=0\\ \\ -2|~~2\quad -1\quad ~~-13\quad |-6\\ \quad \quad ~~~~~~~~2\quad -5\quad \quad -3\quad \quad \quad 0$

Agora nosso polinômio é:

$2x^{ 2 }-5x-3x=0$

Basta resolver e achar as outras duas raízes.

$b^{ 2 }-4ac\\ \\ \Delta =(-5)^{ 2 }-4*2*(-3)\\ \Delta =25+24\\ \Delta =49\\ \\ \\ \frac { -b\pm \sqrt { \Delta } }{ 2a } \\ \\ x^{ I }=\frac { 5+7 }{ 4 } \Rightarrow \frac { 12 }{ 4 } \Rightarrow 3\\ \\ x^{ II }=\frac { 5-7 }{ 4 } \Rightarrow -\frac { 2 }{ 4 } \Rightarrow -\frac { 1 }{ 2 }$


R:C