Sejam (16, 18, 20,. ) e duas progressões aritméticas. Estas duas progressões apresentarão somas iguais, para uma mesma quantidade de termos somados, quando o valor da soma for igual a:.
Soluções para a tarefa
4914 será o valor da soma quando ambas as progressões apresentarem somas iguais.
Progressões aritméticas
Para começarmos a resolver este problema, primeiro vamos nos lembrar do termo geral de progressões aritméticas, que é:
an = a1 + (n-1)r
E também da soma dos termos de progressões aritméticas, que é:
Sn = [(a1+an)n]/2
Agora identificaremos a razão de cada progressão. Na primeira progressão a razão é 2, pois:
20 - 18 = 2
18 - 16 = 2
Na segunda progressão temos frações. Para termos frações de mesmo denominador trataremos o 3 como 6/2, pois:
6 ÷ 2 = 3
Assim, percebemos que a razão é 5/2, pois:
11/2 - 6/2 = 5/2
6/2 - 1/2 = 5/2
Agora utilizaremos a fórmula do termo geral e a soma dos termos para cada uma das progressões. Começando pela primeira:
an = a1 + (n-1)r
an = 16 + (n -1)2
an = 16 + 2n - 2
an = 14 + 2n
Aplicando este valor na fórmula da soma dos termos teremos:
Sn = [(a1+an)n]/2
Sn = [(16 + 14 + 2n)n]/2
Sn = [(30 + 2n)n]/2
Agora faremos o mesmo para a segunda progressão:
an = a1 + (n-1)r
an = 1/2 + (n-1)5/2
an = 1/2 + 5n/2 - 5/2
an = 5n/2 - 5/2 + 1/2
an = 5n/2 - 4/2
an = 5n/2 -2
Agora com a fórmula da soma dos termos:
Sn = [(a1+an)n]/2
Sn = [(1/2 + 5n/2 - 2)n]/2 (aqui aplicamos MMC)
Sn = [(1/2 + 5n/2 - 4/2)n]/2
Sn = [(-3/2 + 5n/2)n]/2
Assim, obtivemos o valor das somas das duas progressões. Note que o enunciado da questão diz que ambas as progressões apresentam somas iguais em uma determinada quantidade de termos. Logo, podemos colocar ambas as somas, uma de cada lado de uma equação. Ficará assim:
[(30 + 2n)n]/2 = [(-3/2 + 5n/2)n]/2 (podemos eliminar os denominadores iguais)
(30 + 2n)n = (-3/2 + 5n/2)n (aqui podemos eliminar os "n" de fora dos parênteses de cada lado)
30 + 2n = -3/2 + 5n/2 (os denominadores passam para o outro lado multiplicando)
60 + 4n = -3 + 5n
60 + 3 = 5n - 4n
63 = n
Agora que obtivemos o valor de n, que corresponde a posição da progressão onde a soma das progressões será igual, podemos utilizá-lo na fórmula da soma dos termos para encontrar o valor desta soma. Logo:
Sn = [(30 + 2n)n]/2
Sn = [(30 + 2 × 63)63]/2
Sn = [(30 + 126) × 63]/2
Sn = (156 × 63)/2
Sn = 9828/2
Sn = 4914
Assim, concluímos que a soma das duas progressões será igual quando o valor da soma for 4914.
Percebi que a pergunta está incompleta. Acho que a questão completa é essa:
"Sejam (16,18,20, ....) e (1/2,3, 11/2, ....) duas progressões aritméticas. Estas duas progressões apresentarão somas iguais, para uma mesma quantidade de termos somados, quando o valor da soma for igual a :
a)154
b)4.774
c)63
d)4.914
e)1.584"
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