Question

sejam (16, 18, 20, ...) e duas progressões aritméticas. estas duas progressões apresentarão somas iguais, para uma mesma quantidade de termos somados, quando o valor da soma for igual a:

Answer 1

Com o estudo sobre a soma dos n termos de uma P.A, temos como resposta que a soma vale 4914.

Soma dos n termos de uma progressão aritmética

Uma progressão aritmética com n termos pode ser escrita genericamente, por: $a_1,a_2,a_3,a_4,_{....},a_{n-1},a_n$

Pode-se notar que a soma dos termos equidistantes dos extremos é sempre igual à soma dos extremos:

$\begin{cases}a_1+a_n&\\ a_2+a_{n-1}=a_1+r+a_n-r=a_1+a_n&\\ a_3+a_{n-2}=a_1+2r+a_n-2r=a_1+a_n&\end{cases}$

.....

Agora, vamos considerar a soma de todos os seus termos a qual será chamada de $S_n$:

• $S_n=a_1+a_2+...+a_{n-1}+a_n$

Ao escrever essa soma trocando-se a ordem, obtemos:

• $S_n=a_n+a_{n-1}+....+a_2+a_1$

Somando essas duas expressões, há:

• $(S_n=a_1+a_2+...+a_{n-1}+a_n)+(S_n=a_n+a_{n-1}+....+a_2+a_1)\rightarrow 2S_n=\left(a_1+a_n\right)+\left(a_2+a_{n-1}\right)+...+\left(a_{n-1}+a_2\right)+\left(a_n+a_1\right)=n\cdot \left(a_1+a_n\right)$

A soma Sn é dada por: $S_n=\frac{\left(a_1+a_n\right)\cdot n}{2}$

Com isso podemos resolver o exercício. Na P.A. (16,18,20,...) temos que a1 = 16, r = 2.

• an = 16 + (n-1) 2
• an = 16 + 2n - 2
• an = 14 + 2n

Na P.A. (1/2,3,11/2,...) temos que a1 = 1/2, r = 5/2.

• an = 1/2 + (n-1) 5/2
• an = 1/2 + 5n-5/2

Daí,

• 16 + an= 1/2 + an
• 16 + 14 + 2n = 1/2 + 1/2 + 5n-5/2
• 30 + 2n = 2+5n-5/2
• 60 + 4n = 5n - 3
• n = 63

Usando a soma dos n termos de uma P.A, temos

• Sn = (16 + an) 63/2
• Sn = (16 + a63) 63/2
• a63 = 16 + 62 * 2
• a63= 140
• Sn = (16 + a63) 63/2
• Sn = (16 + 140) 63/2
• Sn = 156*63/2
• Sn = 4914

Saiba mais sobre progressão aritmética:https://brainly.com.br/tarefa/6535552

#SPJ11