Question

Sejam (16,18,20, ....) e (1/2,3, 11/2, ....) duas progressões aritméticas. Estas duas progressões apresentarão somas iguais, para uma mesma quantidade de termos somados, quando o valor da soma for igual a :
a)154
b)4.774
c)63
d)4.914
e)1.584

Answer 1

Primeiramente, é importante lembrar que:

O termo geral de uma Progressão Aritmética é igual a:

an = a1 + (n - 1)r

e a soma dos termos de uma Progressão Aritmética é igual a:

$Sn=\frac{(a1+an).n}{2}$.

Na P.A. (16,18,20,...) temos que a1 = 16, r = 2.

Assim,

an = 16 + (n - 1).2

an = 16 + 2n - 2

an = 14 + 2n

Logo,

$Sn = \frac{(16 + 14 + 2n).n}{2}$

$Sn=\frac{(30+2n).n}{2}$.

Na P.A. (1/2,3,11/2,...) temos que a1 = 1/2, r = 5/2.

Logo,

an = 1/2 + (n - 1)(5/2)

an = 1/2 + 5n/2 - 5/2

an = -2 + 5n/2

Assim,

$Sn=\frac{(\frac{1}{2} + \frac{5n}{2}-2).n}{2}$

$Sn = \frac{(-\frac{3}{2}+\frac{5n}{2}).n}{2}$.

Queremos que as somas dos n termos sejam iguais, ou seja,

$\frac{(30+2n).n}{2} = \frac{(-\frac{3}{2}+\frac{5n}{2}).n}{2}$

$30 + 2n = -\frac{3}{2} + \frac{5n}{2}$

60 + 4n = -3 + 5n

n = 63.

Portanto, as progressões apresentarão somas iguais para uma mesma quantidade de termos somados quando o valor da soma for igual a:

$Sn=\frac{(30 + 2.63).63}{2}$

Sn = 4914.

Alternativa correta: letra d).