Question

Sejam -1 e 2, respectivamente, os restos das divisões de um polinômio P por x-1 e x-2. Determine o resto da divisão de P por (x-1).(x-2)
Podem confirmar se a resposta é 3? Não achei o gabarito...

Answer 1

O resto da divisão será 3x - 4.

Podemos entender o seguinte:

Se o polinômio P(x) for dividido por (x - 1), dará resto -1, e se for dividido por (x - 2) dará resto 2.

Daí tiramos que:

P(1) = - 1

P(2) = 2

divisor: (x - 1).(x - 2) = x² - 3x + 2  [polinômio de grau 2]

O resto na divisão de P(x) por (x - 1)·(x - 2) é um polinômio R(x) = ax + b, pois se o divisor tem grau 2, o resto, no máximo, terá grau 1.

O dividendo é o produto do quociente pelo divisor somado ao resto. Logo:

P(x) = (x - 1)·(x - 2) · Q(x) + ax + b

Se x for 1, teremos:

P(1) = (1 - 1).(1 - 2) · Q(1) + a·1 + b = - 1

P(1) = 0.(-2) . Q(1) + a + b = - 1

P(1) = 0 + a + b = - 1

Então:

a + b = - 1

Se x for 2, teremos:

P(2) = (2 - 1).(2 – 2) · Q(2) + a·2 + b = 2

Então:

2a + b = 2

Agora, basta fazermos um sistema de equações:

{2a + b = 2

{a + b = - 1  ---->  ·(-1)

{2a + b = 2

{- a - b = 1   +

a = 3

O valor de b.

a + b = - 1

3 + b = - 1

b = - 1 - 3

b = - 4

Portanto, o resto será:

R(x) = ax + b

R(x) = 3x - 4