Sejam µ1 e µ2 planos com equações x + y + 2z – 3 = 0 e –x – y + 2z – 5 = 0. Neste sentido, analise as afirmativas seguintes.
I - Os vetores n1 = (1, 1, 2) e n2 = (–1, –1, 2) são vetores normais (ortogonais) aos planos µ1 e µ2 respectivamente.
II - Se ß é o ângulo formado pelos planos µ1 e µ2, então, ß = arccos(1/3)
III - O produto vetorial n1 x n2 = (4, –4, 0) tem a mesma direção que da reta r obtida pela interseção dos planos µ1 e µ2
IV - As equações paramétricas da reta r que pertence à interseção dos planos µ1 e µ2, e que passa pelo ponto A(0, –1, 2), são
V - Uma reta s cujas equações paramétricas são
é paralela à reta r
Soluções para a tarefa
alternativa IV é a opção correta.
apenas a resposta I é errada.
Analisando as afirmações, temos:
I. (CORRETA)
O vetor ortogonal a um plano tem suas componentes dadas pelos coeficientes de x, y e z da equação geral do plano, ou seja, n = (a, b, c). Neste caso, temos o vetor (1, 1, 2) ortogonal a µ1 e o vetor (-1, -1, 2) ortogonal a µ2.
II. (CORRETA)
O ângulo entre os planos é o mesmo que o ângulo entre seus vetores normais:
cos ß = n1·n2 / |n1|.|n2|
cos ß = (1(-1) + 1(-1) + 2.2)/√(1²+1²+2²).√((-1)²+(-1²)+2²)
cos ß = 2/√6√6
cos ß = 2/6
cos ß = 1/3
ß = arccos(1/3)
III. (CORRETA)
A interseção entre os planos é:
x + y + 2z – 3 = –x – y + 2z – 5
2x + 2y + 2 = 0
x + y = -2
O vetor (4, -4, 0) pertence a reta x + y = 0, como os coeficientes angulares são iguais, elas são paralelas e tem a mesma direção.
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