Question

Sejam (1,1), (2,3) e (3,-1) os vértices de um triângulo. Qual é o ponto (x,y), tal que a soma dos quadrados de suas distâncias aos vértices é a menor possível?

Answer 1

Temos um triângulo cujos vértices são os pontos A(1, 1), B(2, 3) e C(3, −1).

Seja P(x, y) o ponto cuja soma dos quadrados dos quadrados de suas distâncias a cada um dos vértices seja a menor possível.


Vamos primeiramente encontrar os quadrados as distâncias

     •  do ponto P até o ponto A:

        $\mathsf{d_{P,A}^2=(x_P-x_A)^2+(y_P-y_A)^2}\\\\ \mathsf{d_{P,A}^2=(x-1)^2+(y-1)^2}\\\\ \mathsf{d_{P,A}^2=x^2-2x+1+y^2-2y+1}\\\\ \mathsf{d_{P,A}^2=x^2+y^2-2x-2y+2}$


     •  do ponto P até o ponto B:

        $\mathsf{d_{P,B}^2=(x_P-x_B)^2+(y_P-y_B)^2}\\\\ \mathsf{d_{P,B}^2=(x-2)^2+(y-3)^2}\\\\ \mathsf{d_{P,B}^2=x^2-4x+4+y^2-6y+9}\\\\ \mathsf{d_{P,B}^2=x^2+y^2-4x-6y+13}$


     •  do ponto P até o ponto C:

        $\mathsf{d_{P,C}^2=(x_P-x_C)^2+(y_P-y_C)^2}\\\\ \mathsf{d_{P,C}^2=(x-3)^2+(y-(-1))^2}\\\\ \mathsf{d_{P,C}^2=(x-3)^2+(y+1)^2}\\\\ \mathsf{d_{P,C}^2=x^2-6x+9+y^2+2y+1}\\\\ \mathsf{d_{P,C}^2=x^2+y^2-6x+2y+10}$


A função que queremos minimizar é o resultado da soma dos quadrados das distâncias, ou seja

     $\mathsf{f(x,\,y)=d_{P,A}^2+d_{P,B}^2+d_{P,C}^2}\\\\\\ \begin{array}{rcrcrcrcrcr} \mathsf{f(x,\,y)}=&&\mathsf{x^2}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{y^2}&\!\!\!-\!\!\!&\mathsf{2x}&\!\!\!-\!\!\!&\mathsf{2y}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{2}\\ &\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{x^2}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{y^2}&\!\!\!-\!\!\!&\mathsf{4x}&\!\!\!-\!\!\!&\mathsf{6y}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{13}\\ &\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{x^2}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{y^2}&\!\!\!-\!\!\!&\mathsf{6x}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{2y}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{10}\end{array}$

     $\mathsf{f(x,\,y)=3x^2+3y^2-12x-6y+25}$   


Como a função acima é polinomial do 2º grau, podemos completar os quadrados:

     $\mathsf{f(x,\,y)=3\cdot \big[x^2+y^2-4x-2y\big]+25}\\\\ \mathsf{f(x,\,y)=3\cdot \big[x^2-4x+y^2-2y\big]+25}\\\\ \mathsf{f(x,\,y)=3\cdot \big[x^2-4x+4+y^2-2y+1-4-1\big]+25}\\\\ \mathsf{f(x,\,y)=3\cdot \big[(x^2-4x+4)+(y^2-2y+1)-5\big]+25}\\\\ \mathsf{f(x,\,y)=3\cdot \big[(x-2)^2+(y-1)^2-5\big]+25}\\\\ \mathsf{f(x,\,y)=3(x-2)^2+3(y-1)^2-15+25}\\\\ \mathsf{f(x,\,y)=3(x-2)^2+3(y-1)^2+10}$


Agora, a lei da função está expressa como uma soma, onde as duas primeiras parcelas

     $\mathsf{3(x-2)^2}$  e  $\mathsf{3(y-1)^2}$
 
nunca são negativas. Então, o valor que f assume é mínimo quando cada uma dessas parcelas assume o seu valor mínimo, que é zero.

Dessa forma, temos que achar os valores de x e y que zeram as duas primeiras parcelas:

     $\mathsf{3(x-2)^2=0}\\\\ \mathsf{(x-2)^2=0}\\\\ \mathsf{x-2=0}$

     $\mathsf{x=2}$        ✔


     $\mathsf{3(y-1)^2=0}\\\\ \mathsf{(y-1)^2=0}\\\\ \mathsf{y-1=0}$

     $\mathsf{y=1}$        ✔


Logo, o ponto procurado é o ponto P(2, 1).


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Bons estudos!