Question

Sejam "0", "Z1" e "Z2" as representações gráficas dos complexos (0+0i), (2+3i) e (-5-i), respectivamente. A menor determinação positiva do ângulo Z1ÔZ2 é?

a)135º
b)150º
c)165º
d)120º
e)175º

Answer 1

Podemos considerar os complexos z1 e z2 como vetores, (2, 3) e (-5, -1) respectivamente.

Sabemos que o produto escalar entre dois vetores é : A*B = |A||B|cos(x), onde x é o menor ângulo entre os vetores, assim cos(x) = A*B/|A||B|.

O produto escalar A*B é igual a: 2*(-5) + 3*(-1) = -10 + (-3) = -13.

O módulo de A é tal que |A|² = 2² + 3² = 4 + 9 = 13 <=> |A| = √13.
O módulo de B é tal que |B|² = 5² + 1² = 26 <=> |B| =  (√2)(√13).

Assim o produto |A||B| = 13√2, o que implica que cos(x) = -13/13√2 = -√2/2.

Sabemos da trigonometria que o cos(135°) = -√2/2, assim x = 135°.
 
(a)