Question

seja
z1 = 2 - i
z2 = 5 + 31
z3 = 6+6 $\sqrt{3}$ i

a. Obtenha z1∙z2.
b. Obtenha z1/z2.
c. Escreva z3 na forma polar.

OBS: para não ter duvida eu deixei o z1,z2 e o z3 em anexo e a mesma coisa...,

Answer 1

Olá.

Para os números complexos, temos a forma: 
z = a + bi.

 

Analisando todos os termos, é possível afirmar que apenas z₁ e z₃ tem termos imaginários.

 

Na multiplicação e na divisão temos que usar apenas regras de equações de 1° grau. Teremos:

 

A

z₁ • z₂ =

(2 - i) • (5 + 31) =

(2 - i) • (36) =

72 – 36i

 

O resultado final é 72 – 36i.

 

-----

 

B

$\mathsf{\dfrac{z_1}{z_2}=}\\\\\\\mathsf{\dfrac{2-i}{5+31}=}\\\\\\\mathsf{\dfrac{2-i}{36}=}\\\\\\\mathsf{\dfrac{2}{36}-\dfrac{i}{36}=}\\\\\\\mathsf{\dfrac{2^{:2}}{36^{:2}}-\dfrac{i}{36}=}\\\\\\\boxed{\mathsf{\dfrac{1}{18}-\dfrac{i}{36}}}$

 

O resultado final está na fração dentro do box.

 

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Nessa alternativa, temos de encontrar a versão trigonométrica ou polar. A forma polar refere-se a versão gráfica do número complexo em um plano cartesiano.

 

Para encontrar a forma polar, usaremos as seguintes fórmulas:

$\diamondsuit~\boxed{\begin{array}{l}\rightarrow~\mathsf{z=a+bi}\\\\\rightarrow\mathsf{z=cos~\theta+i\cdot sen~\theta}\\\\\rightarrow\mathsf{z=\dfrac{b}{p}+i\cdot \dfrac{a}{p}}\\\\\rightarrow\mathsf{p=\sqrt{a^2+b^2}}\end{array}}$

 

A forma polar inicial é essa: z = p(cos θ + i • sen θ).

Após essa, tem a versão com resolução em fração, que é a usaremos.

 

O “p” representa a distância entre pontos. Vamos encontrar o valor do p, para logo após jogar na fórmula. Teremos:

$\mathsf{p=\sqrt{a^2+b^2}}\\\\ \mathsf{p=\sqrt{6^2+(6\sqrt3)^2}}\\\\ \mathsf{p=\sqrt{36+(36\times3)}}\\\\ \mathsf{p=\sqrt{36+(108)}}\\\\ \mathsf{p=\sqrt{144}}\\\\ \boxed{\mathsf{p=12}}$

 

Tendo o valor de p, podemos substituir na fórmula. Teremos:

$\mathsf{z=12\left(\dfrac{b}{p}+i\cdot\dfrac{a}{p}\right)}\\\\\boxed{\mathsf{z=12\left(\dfrac{6\sqrt3}{12}+i\cdot\dfrac{6}{12}\right)}}$

 

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos$.$