Question

Seja z = x² + xy, com x = 3t² + 1 e y = 2t − t²Calcule dz/dt.

Answer 1

Temos $z=f(x,\;y)$ definida por

$z=x^{2}+xy$


e $\gamma(t)=(3t^{2}+1,\;2t-t^{2})$

uma curva parametrizada do $\mathbb{R}^{2},$ cujas equações paramétricas são:

$\gamma:~\left\{ \begin{array}{l} x(t)=3t^{2}+1\\ \\ y(t)=2t-t^{2} \end{array} \right.~~~~~~t\in\mathbb{R}$


Calculando o vetor gradiente de $z:$

$\nabla z(x,\,y)=\left(\dfrac{\partial z}{\partial x}(x,\;y),\;\dfrac{\partial z}{\partial y}(x,\;y) \right )\\ \\ \\ \nabla z(x,\,y)=\left(2x+y,\;x \right )$

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Pela Regra da Cadeia, temos que

$\dfrac{dz}{dt}=\nabla z(\gamma(t))\cdot \gamma'(t)~~~~(\text{produto escalar de vetores!!!})\\ \\ \\ \dfrac{dz}{dt}=\left(\dfrac{\partial z}{\partial x}(\gamma (t)),\;\dfrac{\partial z}{\partial y}(\gamma (t)) \right )\cdot \left(\dfrac{dx}{dt},\;\dfrac{dy}{dt}\right)\\ \\ \\ \dfrac{dz}{dt}=\left(2x(t)+y(t),\;x(t) \right )\cdot \left(6t,\;2-2t\right)\\ \\ \\ \dfrac{dz}{dt}=\left(2(3t^{2}+1)+(2t-t^{2}),\;3t^{2}+1 \right )\cdot \left(6t,\;2-2t\right)\\ \\ \\ \dfrac{dz}{dt}=\left(6t^{2}+2+2t-t^{2},\;3t^{2}+1 \right )\cdot \left(6t,\;2-2t\right)\\ \\ \\ \dfrac{dz}{dt}=\left(5t^{2}+2t+2,\;3t^{2}+1 \right )\cdot \left(6t,\;2-2t\right)$

$\boxed{\begin{array}{c} \dfrac{dz}{dt}=(5t^{2}+2t+2)\cdot 6t+(3t^{2}+1)\cdot (2-2t) \end{array}}$


ou caso queria, pode expandir o polinômio e reduzir os termos semelhantes, (o que não é necessário...)


Bons estudos! :-)