Question

Seja z um número complexo de módulo 2 e argumento principal 120°. O conjunto z é :
a) 2-2i √3.
b) 2+2i √3.
c) 1-i √3
d)-1+i √3
e)1+i√3

Answer 1

$\theta \ = \ arctg \ ( \frac{im}{Re}) \\ \\ (\theta \ \ \rightarrow \ Argumento, \ Im \ \rightarrow \ Parte \ Imagin\'aria \ e \ Re \ \rightarrow \ Parte \ Real) \\ \\ 120 ^\circ \ = \ arctg( \frac{Im}{Re} )$

$tg (120 ^\circ) \ = \ \frac{Im}{Re} \\ \\ - \sqrt{3} \ = \ \frac{Im}{Re} \\ \\ Im \ = \ - \sqrt{3} \ . \ Re$

$|Z| \ = \ \sqrt{(Im^2 \ + \ Re^2)} \\ \\ (|Z| \ \rightarrow \ M\'odulo \ de \ Z)$

$2 \ = \ \sqrt{(Im^2 \ + \ Re^2)} \\ \\ 4 \ = \ Im^2 \ + \ Re^2 \ \rightarrow \ (Im \ = \ - \sqrt{3} \ . \ Re) \\ \\ 4 \ = \ (- \sqrt{3} \ . \ Re)^2 \ + \ Re^2 \\ \\ 4 \ = \ 3 \ . \ Re^2 \ + \ Re^2 \\ \\ 4 \ = \ 4 \ . \ Re^2 \\ \\ 1 \ = \ Re^2 \\ \\ Re \ = \ \sqrt{1} \\ \\ Re \ = \ \pm \ 1 \\ \\ \rightarrow \ Como \ o \ argumento \ \'e \ de \ 120^\circ, pelo \ plano \ de \ Argand-Gauss : \\ \\ \ \ \Rightarrow Re \ = \ Negativo \ e \ Im \ positivo \ ! \ (Como \ se \ fosse \ 2^\circ \ quadrante)$

$Logo, \ Re \ = \ -1 \\ \\ Im \ = \ - \sqrt{3} \ . \ Re \\ \\ Im \ = \ - \sqrt{3} \ . \ (-1) \\ \\ Im \ = \ \sqrt{3}$

$Por \ fim, \ Z \ = \ Re \ + \ Im \ * \ i \\ \\ Z \ = \ -1 \ + \ \sqrt{3} \ . \ i \ (Alternativa \ 'd)'! \ )$