Question

Seja z um número complexo, cujo afixo P está representado abaixo no plano de Argand- Gauss. Calcule a forma trigonométrica do número z:

Answer 1

Boa tarde,

A representação de números complexos tem a modalidade algébrica e a trigonométrica.
A algébrica já conhece, em que todo o número complexo aparece na forma
a + b i ,  sendo a, b ∈ |R  e   i = √-1
Neste caso tem o número complexo    - 3 / 2 + √(3 / 2)  i
A outra forma de representação, a trigonométrica é :

z = | z | ( cos Ф + i * sen Ф )

( nota 1: " Ф " uso este símbolo pois não encontro o adequado símbolo grego, denominado " teta " , que deve ter em seu livro de matemática
  nota 2 :  |z| = módulo do número complexo z também aparece no seu livro com uma letra grega que se pronuncia " ró ")

                                  ( parte positiva do eixo dos YY )
                                 y = Im (z)
                               ↑ 
                               |
        P                   ---- C   √3 / 2
         °                     |         
         |  °                  |
         |     °               |
         |        °            |
         |           °         |
         |              °      |
         |                 °   |
     ---|------------------°----------------------------A---→
       B                      | O                                  x = Re (z)
   - 3 / 2                   |                                      ( parte positiva eixo dos xx)
                               |                                       
                               |

Calculando o módulo do número complexo   z = - 3 / 2 + √3 / 2  i

| z | = √ ( (- 3 / 2) ² + ( √3 / 2) ² )

= √( 9 / 4 + 3 / 4 )      o parêntesis curvo indica que está tudo dentro da raíz

= √12 / 4

= √3                     | - 3 / 2 + √3 / 2  i | = √3  
---------------------------------------------------------
A primeira parte já está calculada.

Precisamos de calcular o ângulo Ф , que é o ângulo AOP

Triângulo OBP é retângulo em B.

Os ângulos AOP e BOP têm os mesmos valores para os seus seno e  cosseno .

Cos (BOP ) = BO / OP

= (- 3 / 2 ) : √3   =  (- 3 / 2 ) * ( 1 / √3)  =

Porque para se dividirem frações, mantém-se a primeira, muda-se a operação de dividir para multiplicar, invertendo-se a segunda fração.

= - 3 / ( 2 √3 )

racionaliza-se o denominador multiplicando ambos os termos da fração por √3.

= ( - 3 √3 ) / ( 2 √3 √3)

no denominador , √3 √3 =  √3 ²  =  3

assim 

( - 3 √3 ) / ( 2 √3 √3)

= ( - 3 √3 ) / ( 2 * 3 )

= ( - 3 √3 ) / 6

dividindo numerador e denominador por 3

Cos (BOP) = - √3 / 2 , o que faz sentido pois o sinal do cosseno é negativo no segundo quadrante

                             |
  2º quadrante      |        1º quadrante
                             |
                             |
        --------------------------------------
                             |
  3º quadrante      |       4º quadrante
                             |
                             |

1º Quadrante - Sen   e Cos      positivos

2º Quadrante  - Sen Positivo  ; Cos  Negativo

3º Quadrante  -  Sen e Cos  negativos

4º Quadrante -   Sen   negativo   ;  Cos  positivo


Cálculo do Sen (BOP) = BP / OP

= ( √3 / 2 ) /  √3

= ( √3 / 2 ) / (√3 / 1)  ; para completar a fração no denominador

= ( √3 / 2 ) * (1 / √3 )

=   √3 / ( 2 √3 )

dividindo o numerador e o denominador por √3

= 1 / 2

Nota: a partir de agora quando for preciso falar de ângulos, a dimensão não vai ser graus , mas  π radianos

Em termos de graus o ângulo π = 180 º

Assim 30 º = π / 6

45º = π / 4

60 º = π / 3

Tabela de valores trigonométricos  muito usados

            |   π / 6  |    π / 4   |  π / 3
----------|-----------| ---------- |---------
seno    |    1/2    | √ 2 / 2  |  √3 / 2
            |             |              |
-----------------------------------------------
  cos    | √3 / 2   |  √ 2/ 2  |    1/2
            |             |              |
-----------------------------------------------       
 tang    | √3 / 3   |       1     |    √3

( tang x = sen x / cos x)

Cos (BOP) = - √3 / 2 ,   Sen (BOP) = 1 / 2

Ângulo BOP = π / 6

Mas para elaborar a forma trigonométrica do número complexo, o ângulo a registar na fórmula trigonométrica é o ângulo AOP.

Ângulos AOP e BOP são suplementares ( sua soma igual a 180 º ou seja π)

Ângulo AOP

= π - π / 6 

=  6π / 6  -  π /6 

= 5 π / 6

Temos todos os elementos para indicar a forma trigonométrica pedida.

Resposta 

A forma trigonométrica de :

- 3 / 2 + √(3 / 2 i)          é    √3 ( cos 5π / 6 + i  sen 5π/6 )

que também tem uma escrita reduzida de  √3 cis ( 5π/6 )
--------------------------------
Nota : sinal ( * ) é multiplicação  ;  sinal ( / ) é divisão   
Espero ter ajudado. Ensinando devidamente o que sei.Procuro  explicar como se faz e não apenas apresentar rápidas soluções.

Esforçando-me por entregar a  Melhor  Resposta  possível.
Qualquer dúvida, envie-me comentário ou mensagem. Bom estudo