Question

Seja z = (a + i)^3 um número complexo, sendo a um número real. a) Escreva z na forma de x + yi, sendo x e y números reais. b) Determine os valores de a para que z seja imaginário puro.

Answer 1

a)

$z = (a+i)^{3} \\ \\ z = a^{3} + 3.a^{2}.i + 3 . a . i^{2} + i^{3} \\ \\ z = a^{3} + 3a^{2}i + 3 . a . (-1) + (-i) \\ \\ z = a^{3} + 3a^{2}i - 3a -i \\ \\ z = a^{3}- 3a + 3a^{2}i -i \\ \\ z = (a^{3}- 3a) + (3a^{2} -1)i$

b)

Para que z seja imaginário puro, a parte real deve ser igual a zero:

$a^{3}- 3a = 0 \\ a(a^{2} - 3) = 0 \\ \\ a = 0 \\ \\ a^{2} - 3 = 0 \\a^{2} = 3 \\ a = +- \sqrt{3}$

Para ser imaginário puro:

$a = 0 \\ a = \sqrt{3} \\ a = - \sqrt{3}$