Question

Seja Z = (a,b) є C*. Se o inverso multiplicativo de Z é Z^(-1) = (c,d), mostre que:
[a²+b²][c²+d²]=1

Answer 1

Se Z^(-1) é o inverso multiplicativo de Z temos que:
Z * Z^(-1) =1
Aplicando o módulo em ambos os lados temos:
|Z * Z^(-1)|=|1|
Uma das propriedades dos números complexos é que o modulo do produto é o produto dos módulos, com base nisso temos:
|Z1|*|Z2|=1
Sabemos que:
|Z1|=V(a^2+b^2)
|Z2|=V(c^2+d^2)
(Esse V é a raiz quadrada hehe)
Substituindo na equação temos:
V(a^2+b^2) * V(c^2+d^2) =1
Elevando ambos os membros da equação ao quadrado temos:
(a^2 + b^2)*(c^2 + d^2)=1
Desculpe a notação desorganizada pois estou respondendo do celular.
Espero ter ajudado.
:)