Question

Seja z= a +2ai , sendo a pertencente a R . Determine a sabendo que | z - 2 | = √5

Obs = no meu livro o conjunto solução é a= -1/5 ou a = 1​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

$\sf |~z-2~|=\sqrt{5}$

$\sf |~a+2ai-2~|=\sqrt{5}$

$\sf |~(a-2)+2ai~|=\sqrt{5}$

$\sf \sqrt{(a-2)^2+(2a)^2}=\sqrt{5}$

$\sf (\sqrt{(a-2)^2+(2a)^2})^2=(\sqrt{5})^2$

$\sf (a-2)^2+(2a)^2=5$

$\sf a^2-4a+4+4a^2=5$

$\sf 5a^2-4a+4=5$

$\sf 5a^2-4a+4-5=0$

$\sf 5a^2-4a-1=0$

$\sf \Delta=(-4)^2-4\cdot5\cdot(-1)$

$\sf \Delta=16+20$

$\sf \Delta=36$

$\sf a=\dfrac{-(-4)\pm\sqrt{36}}{2\cdot5}=\dfrac{4\pm6}{10}$

$\sf a'=\dfrac{4+6}{10}~\Rightarrow~a'=\dfrac{10}{10}~\Rightarrow~\red{a'=1}$

$\sf a"=\dfrac{4-6}{10}~\Rightarrow~a"=\dfrac{-2}{10}~\Rightarrow~\red{a"=\dfrac{-1}{5}}$

O conjunto solução é $\sf S=\Big\{\dfrac{-1}{5},1\Big\}$