Question

seja z = 3 + i / 2 + xi com o x real em cada caso ,determine x de modo que: Re(z)=1​

Answer 1

⠀⠀Determinando $x$ no número complexo proposto de modo que $\smallRe(z)=1$, obtemos $x=-\,1$ ou $x=2$, que são os dois únicos valores que satisfazem essa condição.

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Considerações

⠀⠀Um número complexo na forma algébrica $z=a+bi$ possui uma parte real $\smallRe(z)=a$ e uma parte imaginária $\smallIm(z)=b$, que é multiplicada pela unidade imaginária “$i$”. Dessa forma, seja o número complexo $z=\frac{3\,+\,i}{2\,+\,xi}$, desejamos determinar $x$ de modo que $\smallRe(z)=1$, ou seja, queremos calcular o valor de parte real de $z$ igual a 1.

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Resolução

⠀⠀Inicialmente, veja que $z$ é a divisão de dois números complexos, e para desenvolvermos isso precisamos multiplicar $z$ pelo conjugado de seu denominador. Obs.: o conjugado de $z=a+bi$ é esse número com a parte real coincidente e a parte imaginária oposta, ou seja, $\overline{z}=a-bi$. Portanto, com base no supradito temos:

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                        $\Large\begin{array}{c}z=\dfrac{3+i}{2+xi}\\\\z=\dfrac{3+i}{2+xi}\cdot\dfrac{2-xi}{2-xi}\\\\z=\dfrac{(3+i)\cdot(2-xi)}{(2+xi)\cdot(2-xi)}\\\\z=\dfrac{3\cdot2+3\cdot(-\,xi)+i\cdot2+i\cdot(-\,xi)}{(2)^2-(xi)^2}\\\\z=\dfrac{6-3xi+2i-xi^2}{4-x^2i^2}\end{array}$

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⠀⠀A unidade imaginária “$i$” tem valor igual a $\small\sqrt{-\,1}$. Sendo assim, seu quadrado é $\smalli^2=(\sqrt{-\,1})^2=-\,1$:

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                                    $\Large\begin{array}{c}z=\dfrac{6-3xi+2i-x\cdot(-\,1)}{4-x^2\cdot(-\,1)}\\\\z=\dfrac{6-3xi+2i+x}{4+x^2}\\\\z=\dfrac{6+x}{4+x^2}+\dfrac{2i-3xi}{4+x^2}\\\\z=\dfrac{6+x}{4+x^2}+\dfrac{2-3x}{4+x^2}\cdot i\end{array}$

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⠀⠀Agora vemos com muita clareza a parte real e imaginária de $z$:

   $\large\begin{array}{l}\bullet~~a=Re(z)=\dfrac{6+x}{4+x^2}\\\\\bullet~~b=Im(z)=\dfrac{2-3x}{4+x^2}\end{array}$

⠀⠀Como nosso objetivo é determinar $x$ de modo que sua parte real seja igual a 1, então estabelecemos a relação:

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                                     $\Large\begin{array}{c}Re(z)=1\\\\\dfrac{6+x}{4+x^2}=1\\\\6+x=1\cdot(4+x^2)\\\\6+x=4+x^2\\\\x^2+4-x-6=0\\\\x^2-x-2=0\\\\x^2+x-2x-2=0\\\\x\cdot(x+1)-2\cdot(x+1)=0\\\\(x+1)\cdot(x-2)=0\\\\x+1=0~~\vee~~x-2=0\\\\x_1=-\,1~~\vee~~x_2=2\end{array}$

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⠀⠀Basicamente o que fizemos foi manipular a expressão obtendo uma equação quadrática, e depois a resolvemos por fatoração encontrando suas raízes $x_1$ e $x_2$. Veja então que, para a parte real de $z$ ser igual a 1, $x$ deve admitir valor igual a – 1 ou 2.

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$\!\!\!\!\Large\boldsymbol{\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}}$

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                         $\large\boldsymbol{B\theta\eta s~\epsilon s\tau\upsilon d\theta s~\epsilon~\upsilon m~cord\iota\alpha l~\alpha \beta r\alpha c_{\!\!\!,}\,\theta!}$