Question

Seja Z=1+i, onde i é q unidade imaginaria. Podemos afirmar que z^8 é igual a

Answer 1

$z^8=(1+i)^8$

Transformando para a forma trigonométrica:
  - Encontrando $\rho$ usando o Teorema de Pitágoras:
$\rho=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$

  - Encontrando $\theta$:
$sen\theta=\frac{1}{\sqrt2}\to sen\theta=\frac{1}{\sqrt2}\cdot\frac{\sqrt2}{\sqrt2}\to sen\theta=\frac{\sqrt2}{2}\\\\cos\theta=sen\theta\to cos\theta=\frac{\sqrt2}{2}\\\\\theta=45\textdegree$

  - Forma trigonométrica:
$z^8=(\sqrt2(cos45\degree+i sen45\degree))^8$

Calculando $z^8:$
$z^8=(\sqrt2)^8(cos45\textdegree\times8+i sen45\textdegree\times8)\\z^8=16(cos360\textdegree+i sen360\textdegree)$

Voltando para a forma algébrica temos o resultado:  
$z^8=16$

Obs: Quando o cosseno e o seno forem iguais a 360°, o número em sua representação algébrica é real puro e o seu valor é o módulo da forma trigonométrica.

Gráfico para a conversão: