Question

Seja Z = 1+i, onde i é a unidade imaginaria. Podemos afirmar que Z¹² é igual a:

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se o valor de z¹², sabendo-se que:

z = 1 + i.

Como queremos o valor de z¹², então vamos elevar a expressão acima a "12",com o que ficaremos assim:

z¹² = (1+i)¹² ----- note que isto é a mesma coisa que:
z¹² = [(1+i)²]⁶

Agora veja isto e nunca mais esqueça: (1+i)² = 2i . E se fosse (1-i)² = - 2i. Ou seja: (1+i)² = 2i e (1-i)² = -2i. Como, na sua questão, temos (1+i)², então substituiremos (1+i)²  por "2i". Assim, ficaremos da seguinte forma:

z¹² = [2i]⁶ ---- note que isto é a mesma coisa que:
z¹² = 2⁶.i⁶ ---- veja que 2⁶ = 64. Assim, ficaremos com:
z¹² = 64.i⁶

Agora veja isto também e nunca mais esqueça. As potências de "i" variam em ciclos de 4 em 4, terminando sendo uma das seguintes:

i⁰ = 1
i¹ = i
i² = -1
i³ = -i.

E, para saber qual é a potência de "i" equivalente a qualquer "i" elevado a qualquer expoente, então basta dividir o expoente por "4". O resto que der será a potência de "i" que você vai utilizar.
Como o nosso "i" na expressão da sua questão está elevado ao expoente "6", então vamos dividir "6' por "4" e ver qual é o resto. Assim:

6/4 = quociente "1" e resto "2". Logo, i⁶ = i² = - 1.
Assim, deveremos substituir "i⁶" por "-1", ou seja, se temos:

z¹² = 64.i⁶ , então substituiremos "i⁶" por "i²", que, por sua vez é igual a "-1". Logo:

z¹² = 64*(-1)
z¹² = - 64 <--- Pronto. Esta é a resposta. Este é o resultado de z¹² = (1+i)¹².

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.