Question

Seja y = y(x), com x³+y³ =1 mostre que dy/dx = - (x/y)²

Answer 1

Temos a seguinte equação:

$\sf x {}^{3} + y {}^{3} = 1$

Aplicando a derivação implícita na equação:

$\sf \frac{d}{dx}(x {}^{3} + y {}^{3} ) = \frac{d}{dx}(1)$

A derivada da soma é igual a soma das derivadas, ou seja:

$\sf \frac{d}{dx}x {}^{3} + \frac{d}{dx}y {}^{3} = \frac{d}{dx} 1$

Quando derivarmos a função "y" devemos multiplicar o resultado pela derivada de "y":

$\sf 3x {}^{2} + 3y {}^{2} . \frac{dy}{dx} = 0 \\ \\ \sf 3y {}^{2}. \frac{dy}{dx} = - 3x {}^{2} \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{dy}{dx} = \frac{ - 3x {}^{2} }{3y {}^{2} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{dy}{dx} = - \frac{x {} ^{2} }{y {}^{2} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Pelas propriedades de potência, sabemos que:

$\sf \frac{a {}^{2} }{b {}^{2} } = \left( \frac{a}{b} \right) {}^{2}$

Aplicando essa propriedade, temos que a resposta será igual a:

$\boxed{ \boxed{ \boxed{ \boxed{\sf \frac{dy}{dx} = - \left( \frac{x}{y} \right) {}^{2} }}}}$

Espero ter ajudado