Question

Seja Y = - x2 + 5x -1. Dados que x varia no intervalo fechados [0,6], determine o maior (YM) e o menor (Ym) valor que Y assume.

Answer 1

$\displaystyle \frac{d}{dx}=0$ (Ponto crítico)
i) Calcular derivada do polinômio:
$\displaystyle \frac{d}{dx}(-x^2+5x-1)=-2x+5$

ii) calcular pontos críticos da função:
$\displaystyle \frac{d}{dx}=0\implies -2x+5=0\implies -2x=-5\implies\\ \\ x=\frac{5}{2}$
iii) Estudo do sinal:
tem um ponto crítico, nesse ponto o y assume seu maior valor pois pela esquerda da derivada o sinal é positivo (função crescente):
$\displaystyle \frac{d}{dx}\ \textgreater \ 0 \ |\ x\in(-\infty,\ \frac{5}{2})$
e depois ela é decrescente:
$\displaystyle \frac{d}{dx}\ \textless \ 0\ |\ x\in(\frac{5}{2},+\infty)$
indicando que ali é um ponto de maximo (Y(M))
iv) jogar o valor do ponto crítico da função e calcular Y(M)
$\displaystyle X_{M}=\frac{5}{2}\implies Y_{M}=f(X_{M})\implies f(\frac{5}{2})=-\big(\frac{5}{2}\big)^2+5.\frac{5}{2}-1\\\\Y_{M}=-\frac{25}{4}+\frac{25}{2}-1\implies Y_{M}=-\frac{2.25}{2.4}+\frac{4.25}{4.2}-1\implies\\\\Y_{M}=\frac{-50+100}{8}-1 \implies Y_{M}=\frac{50}{8}-\frac{8.1}{8}\implies \\\\Y_{M}=\frac{42}{8}=\frac{21}{4}=\underbar{5,25}$
v) ponto de mínimo vai estar localizado na extrema direita do domínio (6):
$y_{m}=-6^2+5.6-1=-36+30-1=-6-1=\underbar{-7}$
em anexo o gráfico da função: