Question

Seja y(x) uma função real derivável satisfazendo a seguinte equação y(x)3 + x(y(x)2 + y(x)) − 1 = 0. Com respeito à derivada de y(x) no ponto = 0, é correto afirmar que:

Answer 1

Resposta:

y³+x*(y²+y)-1=0  para  x=0 ==>y³-1=0  ==>y³=1  ==>y=1

y³+xy²+xy-1=0

derivando em função de x

(y³)'+(xy²)' +(xy)'=0

3y²*y'+[(x)'*y²+x*(y²)'] +((x)'*y+x*(y)')=0

3y²*y' +(y²+2yx*y' )+(y+x*y')=0

Sabemos que x=0  e y=1

3*y' +1+0 +1+0=0

y'=-2/3

letra E

Answer 2

Em relação a derivada de y(x) no ponto x = 0, podemos afirmar que y' = -2/3, alternativa E.

Derivada de uma função

A derivada de uma função pode ser relacionada à inclinação da reta tangente ao gráfico da função em um determinado ponto.

Derivada do produto de duas funções

Sejam f(x) e g(x) duas funções cujas derivadas existam, temos que, a função f(x)*g(x) é derivável e a sua derivada é dada por:

(f(x) * g(x))' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)

Regra da cadeia

Sejam f(x) e g(x) duas funções deriváveis, temos que, a função composta f(g(x)) é derivável e:

[f(g(x))]' = f'(g(x))*g'(x)

Utilizando a regra da cadeia e a regra do produto para calcular a derivada da expressão dada, podemos escrever:

[y(x)^3 + x (y(x)^2 + y(x)) - 1]' = 0

3 y(x)^2 y'(x) + (y(x)^2 + y(x)) + x * (2 f(x)* y'(x) + y'(x)) = 0

Substituindo x = 0 e y = 1, temos:

3 y' + (1 + 1) + 0 = 0

y' = -2/3.

Para mais informações sobre derivada de funções, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/38549705