Seja y = λ(λ + 1)x 2 + 1, onde λ 6= −1 e λ 6= 0. Determine os intervalos para λ onde a parábola está voltada para cima e os intervalos onde está voltada para baixo.
Soluções para a tarefa
O único intervalo onde esta parabola é voltada para baixo é o de (-1,0).
Explicação passo-a-passo:
Então vamos analisar a equação:
y = λ(λ + 1)x² + 1
Sabemos que uma função do segundo grau representa uma parabola, e cavidade da parabola é voltada para cima, quando o valor que multiplica x² é positivo, e é voltada para baixo, quando o valor que multiplica x² é negativo, vamos focar neste ultimo, pois queremos saber quando a parabola é voltada para baixo.
Bem vemos que o valor que multiplica x² neste caso é λ(λ + 1), então queremos saber quando esta expressão é menor que zero (negativa).
Vemos que λ(λ + 1) é a multiplicação de dois termo, de λ e de (λ + 1), para uma multiplicação de dois termos serem negativo, é necessario que um dos termos seja positivo e o outro negativo, caso contrario, positivo com positivo é positivo, e negativo com negativo é negativo. Assim vamos analisar quando cada termo é positivo:
λ > 0
O primeiro termo é negativo quando λ<0 e positivo quando λ>0
Agora para o segundo termo:
λ + 1 > 0
λ > - 1
O segundo termo é positivo quando λ > - 1 e negativo quand λ < - 1.
Então misturando as duas respostas é facil ver que os os dois termos juntos só possuem sinais trocados entre -1 e 0, onde λ + 1 > 0 e λ < 0. Sendo assim o único intervalo onde esta parabola é voltada para baixo é o de (-1,0).