Question

Seja x um número real positivo qualquer. Definimos o logaritmo de x como sendo

$\mathsf{log\,x:=\displaystyle\int_{1}^{x}\dfrac{1}{u}\,du}$

Utilizando exclusivamente essa definição, mostre que, para quaisquer x, y positivos,

$\mathsf{(i)\,\,\,\,\,\,\,log\,x^{\alpha}=\alpha\,log\,x\,\,\,\,\,\forall\,\alpha\in\mathbb{R}}\\\\\mathsf{(ii)\,\,\,\,\,\,log\,xy=log\,x+log\,y}$

Answer 1

$(i)$ Pela definição fornecida, podemos escrever:

$\displaystyle \log(x^\alpha)=\int_{1}^{x^\alpha}\dfrac{1}{u}\,du$

Vamos fazer uma substituição. Seja $v^\alpha=u$, com $v>0$. Então:

$du=\alpha v^{\alpha-1}dv$

Além disso, $v=1$ quando $u=1$ e $v=x$ quando $u=x^\alpha$. Assim:

$\displaystyle \log(x^\alpha)=\int_{1}^{x^\alpha}\dfrac{1}{u}\,du\\\\ \log(x^\alpha)=\int_{1}^{x}\dfrac{1}{v^\alpha}\,\alpha v^{\alpha-1}dv\\\\ \log(x^\alpha)=\alpha\int_{1}^{x}\dfrac{1}{v}\,dv$

Note que a integral que aparece acima é justamente a definição de $\log(x)$. Portanto:

$\boxed{\boxed{\log(x^\alpha)=\alpha\log(x)}}~~~\blacksquare$

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$(ii)$ Utilizando a definição do enunciado:

$\displaystyle \log(xy)=\int_{1}^{xy}\dfrac{1}{u}\,du$

Podemos "quebrar" essa integral em duas partes:

$\displaystyle \log(xy)=\underbrace{\int_{1}^{x}\dfrac{1}{u}\,du}_{I_1}+\underbrace{\int_{x}^{xy}\dfrac{1}{u}\,du}_{I_2}$

A integral $I_1$ é diretamente a definição de $\log(x)$. Logo, $I_1=\log(x)$. Agora, para analisarmos $I_2$, vamos fazer a seguinte substituição:

$u=vx\Longrightarrow du=xdv$

Calculando os novos índices de integração, temos: $v=1$ quando $u=x$ e $v=y$ quando $u=xy$. Desse modo:

$\displaystyle \log(xy)=\int_{1}^{x}\dfrac{1}{u}\,du+\int_{x}^{xy}\dfrac{1}{u}\,du\\\\ \log(xy)=\log(x)+\int_{1}^{y}\dfrac{1}{vx}\,xdv\\\\ \log(xy)=\log(x)+\int_{1}^{y}\dfrac{1}{v}\,dv\\\\ \boxed{\boxed{\log(xy)=\log(x)+\log(y)}}~~~\blacksquare$