Question

Seja x um número real diferente de 1. Utilize seus conhecimentos de progressão geométrica
para simplificar a expressão 1 + x + x2 + x3 + ... + x9.
alguem pode me ajudar?

Answer 1

Vamos nos referir a essa expressão por $S:$

$S=1+x+x^{2}+\ldots+x^{9}$


As parcelas da soma acima formam uma progressão geométrica de $n=10$ termos, em que

o primeiro termo é $a_{1}=1;$

a razão da progressão é $q=x.$


$S$ é a soma dos dez termos desta P.G. Aplicando a fórmula da soma dos termos da P.G., temos

$S=\dfrac{q^{n}-1}{q-1}\\ \\ \\ S=\dfrac{x^{10}-1}{x-1}\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{c} 1+x+x^{2}+\ldots+x^{9}=\dfrac{x^{10}-1}{x-1} \end{array}}$