Question

Seja x um número inteiro, 0 < x ≤ 60 e o conjunto
A = {K ∈ N I / K = 60
x
}. Nessas condições, o número máximo de
elementos do conjunto A é

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Kika, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Tem-se que "x" é um número inteiro, tal que 0 < x ≤ 60 e o conjunto A caracterizado assim:

A = {k ∈ N | k = 60/x}

ii) Note que se "x" é inteiro, então "x" começa do "1" e, de uma em uma unidade vai até "60". Mas note que "k" terá que ser natural e todo número natural também é inteiro. Logo, teremos que encontrar um número tal para "x" tal que divida exatamente o "60", pois se tiver "quebrado" então o número não é natural. Assim, teremos que encontrar quais são os divisores naturais de 60. Para isso, vamos fatorar 60 e, a partir dos seus divisores encontraremos o número máximo de elementos do conjunto A. Então vamos fatorar 60.Fazendo isso, teremos:

60 | 2

30 | 2

15 | 3

.5 | 5

. 1 |

Veja que 60, quando fatorado deu isto:

60 = 2².3¹.5¹

Agora note isto e não esqueça mais: a quantidade de divisores de um número será dado pelo produto de cada expoente dos fatores primos somado com "1' unidade. Assim, se os expoentes são "2" (que é o expoente do "2"), "1" (que é o expoente do "3") e "1" (que é o expoente do "5"), então a quantidade de divisores de 60 será:

n(60) = (2+1)*(1+1)*(1+1)

n(60) = 3*2*2

n(60) = 12 <--- Este é o número de divisores de 60.

E realmente, note que os divisores de 60 são estes: "1"; "2"; "3"; "4"; "5"; "6"; "10"; "12", "15"; "20"; "30" e "60" <-- Note que são exatamente 12 divisores.

Logo, o número máximo de elementos do conjunto A será de:

12 elementos <--- Esta é a resposta. Ou seja, o número máximo de elementos do conjunto A será exatamente igual ao número de divisores de 60.

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.