Question

Seja x real tal que $\begin{array}{lr}\bf\dfrac{3}{x+1}+\dfrac{4}{1-x}=\dfrac{1}{x}\end{array}$


Sendo assim, o valor de $\begin{pmatrix}\bf\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{7}{x}\end{pmatrix}$ é:

A)3
B)2
C)1
D)0
E)-1​

Answer 1

Através da equação fracionária dada, encontra-se que a expressão algébrica é igual a: b) 2.

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A princípio, desenvolveremos essa equação com o intuito de encontrar sua(s) raiz(ízes). Mas antes, é importante determinar algumas restrições à x, pois seu valor influencia os denominadores diretamente. Como é sabido, ou deveria ser, o denominador de uma fração não deve ser zero. Logo, essa é a condição para que a fração represente um número real.

$\sf\dfrac{3}{1+x}+\dfrac{4}{1-x}=\dfrac{1}{x}$

$\sf\longrightarrow~~c.e.:1+x\neq0,~1-x\neq0~e~x\neq0$

$\sf\longrightarrow~~c.e.:x\neq-\,1,~x\neq1~e~x\neq0$

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Agora sim, estarei fazendo manipulações algébricas nesta equação ao invés de resolver pelo “jeitão” mais simples. Observe:

$\sf\dfrac{3}{1+x}+\dfrac{4}{1-x}=\dfrac{1}{x}$

$\sf\bigg(\dfrac{3}{1+x}+\dfrac{4}{1-x}\bigg)(1+x)=\dfrac{1}{x}(1+x)$

$\sf\bigg(\dfrac{3\cancel{(1+x)}}{\cancel{1+x}}+\dfrac{4(1+x)}{1-x}\bigg)(1-x)=\dfrac{1+x}{x}(1-x)$

$\sf\bigg(3(1-x)+\dfrac{4(1+x)\cancel{(1-x)}}{\cancel{1-x}}\bigg)(x)=\dfrac{(1+x)(1-x)}{\cancel{x}}\cancel{(x)}$

$\sf3(1-x)x+4(1+x)x=(1+x)(1-x)$

$\sf3(x-x^2)+4(x+x^2)=1-x^2$

$\sf3x-3x^2+4x+4x^2=1-x^2$

$\sf x^2+7x=1-x^2$

$\sf x^2+7x+x^2-1=1-x^2+x^2-1$

$\sf 2x^2+7x-1=0$

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Perceba que a questão quer saber o valor de $\sf\frac{1}{x^2}-\frac{7}{x}$. Se tu notares, a equação quadrática encontrada possui os termos - 1 e 7x, que lembram-nos da expressão $\sf\frac{1}{x^2}-\frac{7}{x}$ um pouco. Logo, dividindo todos os termos por x², encontra-se:

$\sf \dfrac{2x^2}{x^2}+\dfrac{7x}{x^2}-\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{0}{x^2}$

$\sf 2+\dfrac{7}{x}-\dfrac{1}{x^2}=0$

Isolando essas frações algébricas, temos como resposta:

$\sf 2+\dfrac{7}{x}-\dfrac{1}{x^2}-2=0-2$

$\sf \dfrac{7}{x}-\dfrac{1}{x^2}=-\,2$

$\sf \bigg(-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{7}{x}\bigg)(-\,1)=(-\,2)(-\,1)$

$\boxed{\sf \dfrac{1}{x^2}-\dfrac{7}{x}=2}$

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Portanto, o valor dessa expressão situa-se na alternativa b. Veja que não foi necessário calcular o valor de x, bastou ter a malícia de associar a equação de 2º grau obtida à expressão que precisávamos calcular.

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Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.